DGL mit Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Do 17.01.2008 | | Autor: | Pace |
| Aufgabe | | [mm] x²y'=\bruch{1}{4}x²+y² [/mm] |
könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen?
ich bisher nach y' aufgelöst:
[mm] y'=\bruch{1}{4}+(\bruch{y}{x})²
[/mm]
und dann weiß ich nur, dass ich die substitution [mm] u=\bruch{y}{x} [/mm] brauche, aber bin mir schon u' unsicher!
[mm] u'=\bruch{\bruch{1}{4}+u²-u}{x} [/mm] ist das richtig?
ich bekomme mein ergebnis nicht nach y aufgelöst bzw. nicht mit dem richtigen ergebnis!
ich hab dann weiter:
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{\bruch{1}{4}+u²-u}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{1}{u²-u} du}=\integral_{ }^{ }{\bruch{\bruch{1}{4}}{x} dx}
[/mm]
nach partialbruchzerlegung:
[mm] ln|\bruch{u-1}{u}|=\bruch{1}{4}ln|Cx|
[/mm]
wie gehe ich dann weiter vor, sofern das richtig ist?
und das Ergebnis soll
[mm] y=\bruch{1}{2}x-\bruch{x}{ln|Cx|}
[/mm]
lauten
wenn ja könnte mir den rest jemand vorrechnen? wenn nein, dann bitte mit richtigem u' vorrechnen. Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Do 17.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Pace
> [mm]x²y'=\bruch{1}{4}x²+y²[/mm]
> könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen?
>
> ich bisher nach y' aufgelöst:
>
> [mm]y'=\bruch{1}{4}+(\bruch{y}{x})²[/mm]
>
> und dann weiß ich nur, dass ich die substitution
> [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm] brauche, aber bin mir schon u' unsicher!
>
> [mm]u'=\bruch{\bruch{1}{4}+u²-u}{x}[/mm] ist das richtig?
Soweit richtig
> ich bekomme mein ergebnis nicht nach y aufgelöst bzw. nicht
> mit dem richtigen ergebnis!
> ich hab dann weiter:
> [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{\bruch{1}{4}+u²-u}{x}[/mm]
noch richtig
daraus: [mm] du/(\bruch{1}{4}+u²-u)=dx/x [/mm]
also hast du das falsche Integral!
richtig wäre:
> [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{1}{u²-u} du}=\integral_{ }^{ }{\bruch{\bruch{1}{4}}{x} dx}[/mm]
[mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{1}{u²-u+0,25} du}=\integral_{ }^{ }{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> nach partialbruchzerlegung:
die musst du neu machen!
Gruss leduart
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