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| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL:
y''-2y'+2y=6sin(2t) mit y(0)=3 y'(0)=0 |
Hallo :)
Ich erhalte folgende charakteristische Gleichung:
[mm] \lambda^2-2\lambda+2=0
[/mm]
=> [mm] \lambda_1= [/mm] 1+i; [mm] \lambda_2= [/mm] 1-i
da [mm] e^{(1+i)t} [/mm] = [mm] e^t [/mm] cos(t) + [mm] e^t [/mm] i sin(t) ist, lautet meine homogene Lösung dann:
y(t) = [mm] C_1 e^t [/mm] cos(t) + [mm] C_2 e^t [/mm] sin(t)
Allerdings weiß ich nun nicht genau, was ich mit meiner Störung (6sin(2t) anfangen soll.
In meiner Mitschrift haben wir die Störung abgeleitet und eine noch unbekannte Konstante davorgesetzt, die dann berechnet wurde.
Ich weiß aber nicht genau in wie weit das alles stimmt und habe das auch nicht verstanden, vielleicht könnte mir hier jemand helfen die Aufgabe zu lösen :)
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Hallo LittleStudi,
> Lösen Sie folgende DGL:
>
> y''-2y'+2y=6sin(2t) mit y(0)=3 y'(0)=0
> Hallo :)
>
> Ich erhalte folgende charakteristische Gleichung:
>
> [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm]
>
> => [mm]\lambda_1=[/mm] 1+i; [mm]\lambda_2=[/mm] 1-i
>
> da [mm]e^{(1+i)t}[/mm] = [mm]e^t[/mm] cos(t) + [mm]e^t[/mm] i sin(t) ist, lautet meine
> homogene Lösung dann:
>
> y(t) = [mm]C_1 e^t[/mm] cos(t) + [mm]C_2 e^t[/mm] sin(t)
Die homogene Lösung ist richtig.
> Allerdings weiß ich nun nicht genau, was ich mit meiner
> Störung (6sin(2t) anfangen soll.
Du kannst in diesem Fall ansetzen:
[mm] $y_p\; [/mm] = [mm] \; [/mm] A*sin(2t)+B*cos(2t)$
Zweimal ableiten und in die inhomogene DGL einsetzen; dann bekommst Du ein LGS (2 Gleichungen) für A und B.
Zur Kontrolle:
[mm] $y_p \, [/mm] = [mm] \, [/mm] -0,6*sin(2t)+1,2*cos(2t) $
(Irrtum vorbehalten.)
Zum Schluss setzt Du in [mm] $y=y_h+y_p$ [/mm] die Anfangsbedingungen ein.
> In meiner Mitschrift haben wir die Störung abgeleitet und
> eine noch unbekannte Konstante davorgesetzt, die dann
> berechnet wurde.
>
> Ich weiß aber nicht genau in wie weit das alles stimmt und
> habe das auch nicht verstanden, vielleicht könnte mir hier
> jemand helfen die Aufgabe zu lösen :)
>
Schaue doch einmal in Deiner Uni-Bibliothek nach: L. Papula, Mathematik für Ing. und Nat.wiss., Band 2. Da ist alles prima erklärt - für Nichtmathematiker.
LG, Martinius
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Vielen Dank :)
Eine Frage hätte ich aber noch:
> Hallo LittleStudi,
>
> > Lösen Sie folgende DGL:
> >
> > y''-2y'+2y=6sin(2t) mit y(0)=3 y'(0)=0
> > Hallo :)
> >
> > Ich erhalte folgende charakteristische Gleichung:
> >
> > [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm]
> >
> > => [mm]\lambda_1=[/mm] 1+i; [mm]\lambda_2=[/mm] 1-i
> >
> > da [mm]e^{(1+i)t}[/mm] = [mm]e^t[/mm] cos(t) + [mm]e^t[/mm] i sin(t) ist, lautet meine
> > homogene Lösung dann:
> >
> > y(t) = [mm]C_1 e^t[/mm] cos(t) + [mm]C_2 e^t[/mm] sin(t)
>
>
wenn ich diese [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] nun für eine spezielle Lösung berechnen muss, mache ich dies dann wie bei einer homogenen DGL?
(Also y(t) ableiten und dann die oben genannten Werte an den jeweiligen Stellen der Abeitungen gleichsetzen und daraufhin das GLeichungssytem lösen?)
>
> Die homogene Lösung ist richtig.
>
>
>
> > Allerdings weiß ich nun nicht genau, was ich mit meiner
> > Störung (6sin(2t) anfangen soll.
>
>
>
>
> Du kannst in diesem Fall ansetzen:
>
> [mm]y_p\; = \; A*sin(2t)+B*cos(2t)[/mm]
>
> Zweimal ableiten und in die inhomogene DGL einsetzen; dann
> bekommst Du ein LGS (2 Gleichungen) für A und B.
>
> Zur Kontrolle:
>
> [mm]y_p \, = \, -0,6*sin(2t)+1,2*cos(2t)[/mm]
>
> (Irrtum vorbehalten.)
>
> Zum Schluss setzt Du in [mm]y=y_h+y_p[/mm] die Anfangsbedingungen
> ein.
>
>
>
>
> > In meiner Mitschrift haben wir die Störung abgeleitet und
> > eine noch unbekannte Konstante davorgesetzt, die dann
> > berechnet wurde.
> >
> > Ich weiß aber nicht genau in wie weit das alles stimmt und
> > habe das auch nicht verstanden, vielleicht könnte mir hier
> > jemand helfen die Aufgabe zu lösen :)
> >
>
>
> Schaue doch einmal in Deiner Uni-Bibliothek nach: L.
> Papula, Mathematik für Ing. und Nat.wiss., Band 2. Da ist
> alles prima erklärt - für Nichtmathematiker.
>
> LG, Martinius
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Hallo LittleStudi,
> Vielen Dank :)
>
> Eine Frage hätte ich aber noch:
>
> > Hallo LittleStudi,
> >
> > > Lösen Sie folgende DGL:
> > >
> > > y''-2y'+2y=6sin(2t) mit y(0)=3 y'(0)=0
> > > Hallo :)
> > >
> > > Ich erhalte folgende charakteristische Gleichung:
> > >
> > > [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm]
> > >
> > > => [mm]\lambda_1=[/mm] 1+i; [mm]\lambda_2=[/mm] 1-i
> > >
> > > da [mm]e^{(1+i)t}[/mm] = [mm]e^t[/mm] cos(t) + [mm]e^t[/mm] i sin(t) ist, lautet meine
> > > homogene Lösung dann:
> > >
> > > y(t) = [mm]C_1 e^t[/mm] cos(t) + [mm]C_2 e^t[/mm] sin(t)
> >
> >
> wenn ich diese [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] nun für eine spezielle Lösung
> berechnen muss, mache ich dies dann wie bei einer homogenen
> DGL?
> (Also y(t) ableiten und dann die oben genannten Werte an
> den jeweiligen Stellen der Abeitungen gleichsetzen und
> daraufhin das GLeichungssytem lösen?)
Jo, du brauchst $y'$ und $y''$. Berechne diese beiden und setze das ganze Gelumpe (also die Ausdrücke für $y'', y'$ und $y$ dann gem. der Ausgangsdgl ein.
Beachte dann auch die Anfangsbedingungen ...
Gruß
schachuzipus
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