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| Aufgabe | Stanley J. Farlow / AN INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS / 1994 / Dover Verlag
Problems: Section 6.9
Numerical Solution of Higher-Order Equations
For Problems 4 - 8, rewrite the given higher-order equationas as a system of first-order equations and find the approximate solution at t = 0,1 using the Runge-Kutta method.If you have access to a microcomputer with a differential equation package, evaluate the solution on the intervall [0,1] with step size h = 0,1.
5. [mm] $\ddot y+t*\dot [/mm] y+y = 0$
y(0)=1 und [mm] $\dot [/mm] y(0) = 0$ |
Hallo liebe Leute,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht auf das richtige Ergebnis. Vielleicht kann mir einer von euch meine Fehler aufzeigen.
Im Lösungsbuch steht:
Zwischenergebnisse: [mm] $k_1=0$ [/mm] und [mm] $j_1=-1$
[/mm]
sowie [mm] $k_2=-0,05$ [/mm] und [mm] $j_2=-0,9975$
[/mm]
sowie [mm] $k_3 \approx [/mm] -0,0499$ und [mm] $j_3 \approx [/mm] -0,9950$
sowie [mm] $k_4 \approx [/mm] -0,0995$ und [mm] $j_4 \approx [/mm] -0,9851$
Endergebnis für t = 0,1
[mm] $y(0,1)=x_1(0,1)=0,9950$ [/mm] und [mm] $x(0,1)=x_2(0,1) [/mm] = -0,0995$
Zwischen- & Endergebnisse sind alle richtig - ich habe sie nachgerechnet.
Ich habe:
[mm] $x_1=y$ [/mm] und [mm] $x_2= \dot [/mm] y$
ergibt:
[mm] $\dot x_1 [/mm] = [mm] \dot [/mm] y = [mm] x_2 [/mm] = x$
[mm] $\dot x_2 [/mm] = [mm] -x_1 [/mm] - [mm] t*x_2$
[/mm]
oder auch:
[mm] $\dot [/mm] y = x$
[mm] $\dot [/mm] x = -y-t*x$ mit y(0)=1 und [mm] $\dot [/mm] y(0)=x(0) =0$
Nun soll sein:
$f(t,x,y)= x$ und $g(t,x,y)=-y-t*x$
Erste Zwischenwerte:
[mm] $k_1=f(t_0,x_0,y_0)=x_0 [/mm] = 0$
[mm] $j_1=g(t_0,x_0,y_0)=-y_0-t_0*x_0=-1-0=-1$
[/mm]
, die noch richtig sind. Bei allen weiteren komme ich nicht auf die richtigen Zahlenwerte Z.B.:
[mm] $k_2 [/mm] = [mm] f(t_0+\frac{h}{2};x_0+\frac{h}{2}*k_1;y_0+\frac{h}{2}*j_1) [/mm] = [mm] x_0+\frac{h}{2}*k_1= 0+\frac{h}{2}*0 [/mm] = 0$
Habt vielen Dank für Eure Mühe.
LG, Martinius
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