DGL mit Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Di 31.07.2007 | | Autor: | aXe |
| Aufgabe | | Man löse folgende AWA durch den Potenzreihenansatz |
Hallo,
also ich werde mit was ganz schrecklichem gequält...Potenzreihenansatz. Erstmal zu Aufgabe:
[mm](1+x)y''+2y=x² , y(0)=y'(0)=1[/mm]
Also der Ablauf hab ich mehr oder weniger verstanden, das Problem besteht bei mir eher bei den Summen die entstehen. Meine Vorgehensweise:
Ansatz: [mm] y=\summe_{k=0}^\infty a_k x^k, y'=\summe_{k=1}^\infty ka_k x^k-1, y''=\summe_{k=2}^\infty k(k-1)a_k x^{k-2}[/mm] .Den ganzen Krempel dann oben in die Gleichung einsetzen.
So, nun muss man eben zusehen, in den Summen alles auf das gleiche [mm]x^k[/mm] zu bringen. Aber eben hier liegt meine Schwierigkeit. Vorallem wegen der Indextransformation. Was mache ich mit den Vorfaktoren wie [mm](1+x)[/mm] ?
Ich schreibe noch kurz noch nach dem Schritt mit dem Einsetzen hin:
[mm](1+x)\summe_{k=2}^\infty k(k-1) a_k x^{k-2} + 2\summe_{k=0}^\infty a_k x^k[/mm]
Was muss ich nun weiter machen? Wäre nett wenn ihr es hinschreiben könntet, dann kann ich sehen ob ich es nachvollziehen kann.
gruß aXe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Di 31.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
das (1+x) kannst du in die ertse Summe mitreinziehen und dann gilt weiter:
[mm] \summe_{k=2}^{infty} {(1+x)k(k-1)a_{k}x^{k-2}}+...
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{infty} {(k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}}+...
[/mm]
Jetzt kann man beide Summen zusammenziehen und dann [mm] x^{k} [/mm] in der Summe ausklammern.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Di 31.07.2007 | | Autor: | aXe |
Also ich bin jetzt quasi am Ende angelangt beim Koeffizientenvergleich. Sieht sehr gut aus bisher, dein Tipp hat gut geholgen!
Mein Anfangswertproblem war [mm]y(1)=2, y'(1)=1[/mm]. Welche Koeffizienten würden dem jetzt entsprechen?
Meine Musterlösung sagt mir es wäre [mm]a_0=2, a_1=1[/mm] jedoch hätte ich eher gesagt [mm]a_0=1, a_1=2[/mm].
Wie kommt man nun drauf?
gruß, aXe
edit: habe es verplant, dass mein obiger text sich auf eine ganz andere aufgabe bezieht.
der vollständigkeit halber: die potenzreihe war um den entwicklungspunkt x=1 angesetzt. also muss y(1)=a0 und y'(1)=a1 sein.
hat sich im prinzip erledigt.
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