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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Schmidtl |
| Aufgabe | | Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + 2y + y = 0 mit y(0) = 0 ; y(0) = 1. |
Hallo,
o.g. Aufgabe habe ich gelöst, nur habe ich noch paar Unsicherheiten und bitte um kurze Kontrolle.
Meine Fragen dazu:
1) Passt dies mit der Nullstellenbestimmung un der Partialbruchzerlegung? Ist ja m.E. eine doppelte Nullstelle.
2) In dem Term mit den Fragezeichen weiß ich leider nicht, ob es korrekt ist. Glaube fast kaum.
3) Passt die Rechnung ansonsten so?
4) Wenn ich das gleiche mit der Fouriertransformation machen will, fange ich genauso an und ändere die Regeln von Laplace nur in Fourier?
Lösung wie folgt:
[mm] a_{2} [/mm] = 1
[mm] a_{1} [/mm] = 2
[mm] a_{0} [/mm] = 1
Dann daraus:
A(s) = [mm] s^{2} [/mm] + 2 s + 1 = (s+1)(s+1)
P(s) = [mm] y_{0} [/mm] + [mm] 2+y_{0} [/mm] + [mm] y_{0}'
[/mm]
Q(s) = [mm] \bruch{1}{s^{2} + 2s + 1}
[/mm]
D(s) = [mm] \bruch{y_{0} s + 2y_{0} + y_{0}'}{s^{2} + 2s + 1} [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] * [mm] \bruch{s+2}{s^{2} + 2s + 1} [/mm] + [mm] y_{0}' [/mm] * [mm] \bruch{1}{s^{2} +2s + 1}
[/mm]
Jetzt die Nullstellen bestimmt und Partialbruchzerlegung:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 [mm] \Rightarrow \bruch{U}{(s+1)^{2}} [/mm] = Q(s) [mm] \Rightarrow [/mm] U = 1
Jetzt habe ich mir kurz Gedanken zur Laplacetransformierten gemacht und nehme dazu:
[mm] \alpha[t [/mm] * [mm] e^{c*t}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{(s+1)^{2}} [/mm] mit c = 1 [mm] \Rightarrow \alpha[t [/mm] * [mm] e^{-1*t}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{(s+1)^{2}}
[/mm]
q(t) = t * [mm] e^{-1*t}
[/mm]
Und jetzt will ich d(t) bestimmen und forme dazu D(s) um. Dabei habe ich aber ein paar Probleme.
D(s) = [mm] y_{0} [/mm] * [mm] (\bruch{s+2}{(s+1)^{2}}) [/mm] + [mm] y_{0}' [/mm] * [mm] (\bruch{1}{(s+1)^{2}})
[/mm]
d(t) = ? [mm] y_{0} [/mm] * t * [mm] e^{-1*t} [/mm] ? + [mm] y_{0}' [/mm] * t * [mm] e^{-1*t}
[/mm]
Jetzt habe ich noch die Faltung genutzt, um y(t) zu ermitteln. Darum soll es aber erstmal nicht gehen, da ich erstmal wissen möchte, ob ich bis hier her fehlerfrei bin.
Vielen Dank!!!
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Hallo,
naja, wenn du d(t) einsetzt, dann löst es die Gleichung, d.h. deine Rechnung kann ja nicht falsch sein. Wolltest du das wissen?
Grüße, Steffen
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Hi,
naja, bis zum Endergebnis bin ich noch nicht gekommen. Ich wollte nur erstmal meine 3 gestellen Fragen geklärt haben, weil ich mir da mehr als unsicher war und nicht ganz an die Korrektheit glaube - eh ich jetzt mit falschen Werten weiter rechne.
Meine Fragen dazu waren:
1) Passt dies mit der Nullstellenbestimmung un der Partialbruchzerlegung? Ist ja m.E. eine doppelte Nullstelle.
2) In dem Term mit den Fragezeichen weiß ich leider nicht, ob es korrekt ist. Glaube fast kaum.
3) Passt die Rechnung ansonsten so?
4) Wenn ich das gleiche mit der Fouriertransformation machen will, fange ich genauso an und ändere die Regeln von Laplace nur in Fourier?
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 So 27.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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