DGL mit Laplace < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | y´´(t)-2y´(t)+6y(t)= e^-2t*cosh(2t)
y(0)=1 y´(0)=1 |
hallo, ich schreibe einfach mal hin was ich gerechnet habe,mein ergebnis ist leider falsch, ich denke dass ich bei dem ansatz der partialbruchzerlegung den fehler gemacht habe.
[mm] s^2*F(s)-s*y(0)-y´(0)-2*(s*F(s)-y(0))+6*F(s)= \bruch{s+2}{(s+2)^2-2^2}
[/mm]
F(s) = [mm] \bruch{s+2}{(s^2+4s)(s^2-2s+6)} [/mm] + [mm] \bruch{s-1}{(s^2-2s+6)}
[/mm]
F1(s)= [mm] \bruch{s+2}{(s^2+4s)(s^2-2s+6)}
[/mm]
[mm] s+2=\bruch{A}{(s+4)} +\bruch{B}{(s+4)^2} \bruch{Cs+D}{(s^2-2s+6)}
[/mm]
s+2= [mm] A(s^2-2s+6)(s+4)+B(s^2-2s+6)+(Cs+D)(s^2+4s)
[/mm]
s+2= [mm] s^3(A+C)+s^2(2A+B+4C+D)+s(-2A-2B+4D)+24A+6B
[/mm]
A+C=0
2A+B+4C+D=0
-2A-2B+4D=1
24A+6B=2
A=1/10
B=-1/15
C=-1/10
D=4/15
F1(s)= [mm] \bruch{-1}{10}*\bruch{1}{s+4}-\bruch{1}{15}*\bruch{1}{(s+4)^2} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{10}s+\bruch{4}{15}}{s^2-2s+6}
[/mm]
F2(s)= [mm] \bruch{s-1}{(s-1)^2+5}
[/mm]
F(s)= [mm] \bruch{-1}{10}*\bruch{1}{s+4}-\bruch{1}{15}*\bruch{1}{(s+4)^2} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{10}s+\bruch{4}{15}}{s^2-2s+6}+\bruch{s-1}{(s-1)^2+5}
[/mm]
das ganze dann transformiert
f(t)= [mm] \bruch{-1}{10} *e^{-4t} -\bruch{1}{15} t*e^{-4t} +\bruch{9}{10} [/mm] * [mm] cos(\wurzel{5}t)*e^t-\bruch{4}{15*\wurzel{5}}*sin(\wurzel{5}t)*e^t
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo summerlove,
> y´´(t)-2y´(t)+6y(t)= e^-2t*cosh(2t)
>
> y(0)=1 y´(0)=1
> hallo, ich schreibe einfach mal hin was ich gerechnet
> habe,mein ergebnis ist leider falsch, ich denke dass ich
> bei dem ansatz der partialbruchzerlegung den fehler gemacht
> habe.
>
>
> [mm]s^2*F(s)-s*y(0)-y´(0)-2*(s*F(s)-y(0))+6*F(s)= \bruch{s+2}{(s+2)^2-2^2}[/mm]
>
> F(s) = [mm]\bruch{s+2}{(s^2+4s)(s^2-2s+6)}[/mm] +
> [mm]\bruch{s-1}{(s^2-2s+6)}[/mm]
>
> F1(s)= [mm]\bruch{s+2}{(s^2+4s)(s^2-2s+6)}[/mm]
>
>
> [mm]s+2=\bruch{A}{(s+4)} +\bruch{B}{(s+4)^2} \bruch{Cs+D}{(s^2-2s+6)}[/mm]
Der Ansatz muß doch hier lauten:
[mm]\bruch{s+2}{(s^2+4s)(s^2-2s+6)}=\bruch{A}{(s+4)} +\bruch{B}{\red{s}}+\bruch{Cs+D}{(s^2-2s+6)}[/mm]
>
> s+2= [mm]A(s^2-2s+6)(s+4)+B(s^2-2s+6)+(Cs+D)(s^2+4s)[/mm]
>
> s+2= [mm]s^3(A+C)+s^2(2A+B+4C+D)+s(-2A-2B+4D)+24A+6B[/mm]
>
> A+C=0
> 2A+B+4C+D=0
> -2A-2B+4D=1
> 24A+6B=2
>
> A=1/10
>
> B=-1/15
>
> C=-1/10
>
> D=4/15
>
> F1(s)=
> [mm]\bruch{-1}{10}*\bruch{1}{s+4}-\bruch{1}{15}*\bruch{1}{(s+4)^2}[/mm]
> - [mm]\bruch{\bruch{1}{10}s+\bruch{4}{15}}{s^2-2s+6}[/mm]
>
> F2(s)= [mm]\bruch{s-1}{(s-1)^2+5}[/mm]
>
> F(s)=
> [mm]\bruch{-1}{10}*\bruch{1}{s+4}-\bruch{1}{15}*\bruch{1}{(s+4)^2}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{\bruch{1}{10}s+\bruch{4}{15}}{s^2-2s+6}+\bruch{s-1}{(s-1)^2+5}[/mm]
>
> das ganze dann transformiert
>
> f(t)= [mm]\bruch{-1}{10} *e^{-4t} -\bruch{1}{15} t*e^{-4t} +\bruch{9}{10}[/mm]
> *
> [mm]cos(\wurzel{5}t)*e^t-\bruch{4}{15*\wurzel{5}}*sin(\wurzel{5}t)*e^t[/mm]
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
vielen dank für die antwort, ich versteh nicht ganz warum ich diesen ansatz nehmen muss
|
|
|
| |
|
Hallo summerlove,
> vielen dank für die antwort, ich versteh nicht ganz warum
> ich diesen ansatz nehmen muss
Der Ansatz erfolgt gemäß den Nullstellen des Nenners
[mm]\left(s^{2}+4*s\right)*\left(s^{2}-2*s+4\right)=s*\left(s+4\right)*\left(s^{2}-2*s+6\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Do 30.12.2010 | | Autor: | summerlove |
hmm..ja das macht natürlich sinn..vielen dank!
|
|
|
|
