DGL mit JNF < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | Bestimme die Lösungsmenge des Differentialgleichungssytems
[mm] u_{1}^{'}= 2u_{1}-u_{2}^{'} [/mm] + [mm] u_{2}
[/mm]
[mm] u_{2}^{''} [/mm] = [mm] -u_{1} [/mm] + [mm] u_{2}^{'} [/mm] |
Hey zusammen, ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme aber leider nicht zum Schluss bzw. auf die Lösungsmenge.
Da ich eine DGL der 2. Ordnung besitze habe ich diese zuerst in eine DGL der 1. Ordnung "ungeformt" indem ich [mm] u_{3}=u_{2}^{'} [/mm] gesetzt habe. Dann habe ich nämlich
[mm] u_{1}^{'}= 2u_{1}-u_{3} [/mm] + [mm] u_{2}
[/mm]
[mm] u_{2}^{'}= u_{3}
[/mm]
[mm] u_{3}^{'} [/mm] = [mm] -u_{1} [/mm] + [mm] u_{3} [/mm] mit der Matrix
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 &-1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 }.
[/mm]
Anschließend habe ich das Char. Polynom und das MiPO berechnet. In dem Fall sind beide gleich also [mm] (x-1)(x-(1+\wurzel{2})(x-(1-\wurzel{2}).
[/mm]
Im nächsten Schritt habe ich die Kerne von den jeweiligen EW bestimmt (also EV):
EW=1 : [mm] <\vektor{0 \\ 1 \\ 1}>
[/mm]
EW= [mm] 1-\wurzel{2} [/mm] : [mm] <\vektor{\wurzel{2} \\ -1-\wurzel{2}\\ 1}>
[/mm]
EW= [mm] 1+\wurzel{2} [/mm] : [mm] <\vektor{-\wurzel{2} \\ -1+\wurzel{2}\\ 1}>
[/mm]
Da alle Kerne 1-dim sind (sie kommen alle auch nur einfach vor) lautet die Transformationsmatrix
[mm] T=\pmat{ 0 & \wurzel{2} &-\wurzel{2} \\ 1 & -1-\wurzel{2} & -1+\wurzel{2} \\ 1 & 1 & 1 }.
[/mm]
[mm] \Rightarrow T=(t_{1},t_{2},t_{3}) [/mm] erfüllt [mm] T^{-1}AT [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1+\wurzel{2} }.
[/mm]
Ab hier weiß ich leider nicht wie ich weitermachen soll. Wie komme ich von der JNF auf meine Lösungsmenge mit e hoch "irgendwas" ?
Es wäre lieb, wenn ihr mir helfen könnten, ich brauche die Punkte der Aufgabe nämlich für die Klausurzulassung.
Vielen Dank schonmal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Mi 26.11.2014 | | Autor: | andyv |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
wozu brauchst du denn die JNF bzw. wozu willst du die Exp-Matrix berechnen?
Ein Fundamentalsystem von
$ u_{1}^{'}= 2u_{1}-u_{3} $ + $ u_{2} $
$ u_{2}^{'}= u_{3} $
$ u_{3}^{'} $ = $ -u_{1} $ + $ u_{3} $
ist $\{t \mapsto v_i\cdot e^{\lambda_i t}|i\in\{1,2,3}\}\}$, $v_i$ EV von A zum EW $\lambda_i$.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:44 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Lisa641 |
Wir machen dieses Thema gerade in LA II. Die Proffesorin hat es mit JNF im Skript steht. Nur habe ich es leider nicht verstanden....
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