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| Aufgabe | | Gegeben ist die Differentialgleichung y' = [mm] e^{y}cos(x) [/mm] mit dem Anfangswertproblem y(0) = 0. Lösen sie die Differentialgleichung! |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher ob mein Lösungsansatz in Ordnung ist. Über einen Tipp bzw. eine kleine Korrektur, würde ich mich freuen, Danke!
y' = [mm] e^{y} [/mm] cos(x)
ln(y') = cos(x)*y
ln(y') - cos(x)*y = 0
y = [mm] e^{\integral_{0}^{x}{ cos(x) dx}} [/mm] = e^sin(x)
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mi 18.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Differentialgleichung y' = [mm]e^{y}cos(x)[/mm] mit
> dem Anfangswertproblem y(0) = 0. Lösen sie die
> Differentialgleichung!
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht sicher ob mein Lösungsansatz in Ordnung
> ist. Über einen Tipp bzw. eine kleine Korrektur, würde ich
> mich freuen, Danke!
>
> y' = [mm]e^{y}[/mm] cos(x)
>
> ln(y') = cos(x)*y
>
> ln(y') - cos(x)*y = 0
>
> y = [mm]e^{\integral_{0}^{x}{ cos(x) dx}}[/mm] = e^sin(x)
>
> Stimmt das?
Halo,
Differenzialgleichungen sind bei mir finstere Vergangenheit, aber das stimmt mit Sicherheit nicht.
Wenn du auf beiden Seiten den ln bildest, erhältst du
[mm] ln(y')=ln(e^{y} [/mm] cos(x))
und das ist nach Logarithmengesetzen
ln(y')= y + ln(cos(x))
Das ist sicher nicht in deinem Sinn.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mi 18.06.2008 | | Autor: | matthias79 |
stimmt du hast vollkommen Recht, danke Abakus! ;)
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> > Gegeben ist die Differentialgleichung y' = [mm]e^{y}cos(x)[/mm] mit
> > dem Anfangswertproblem y(0) = 0. Lösen sie die
> > Differentialgleichung!
> > Hallo,
> >
> > ich bin mir nicht sicher ob mein Lösungsansatz in Ordnung
> > ist. Über einen Tipp bzw. eine kleine Korrektur, würde ich
> > mich freuen, Danke!
> >
> > y' = [mm]e^{y}[/mm] cos(x)
> >
> > ln(y') = cos(x)*y
> >
> > ln(y') - cos(x)*y = 0
> >
> > y = [mm]e^{\integral_{0}^{x}{ cos(x) dx}}[/mm] = e^sin(x)
> >
> > Stimmt das?
> Halo,
> Differenzialgleichungen sind bei mir finstere
> Vergangenheit, aber das stimmt mit Sicherheit nicht.
> Wenn du auf beiden Seiten den ln bildest, erhältst du
> [mm]ln(y')=ln(e^{y}[/mm] cos(x))
> und das ist nach Logarithmengesetzen
> ln(y')= y + ln(cos(x))
> Das ist sicher nicht in deinem Sinn.
> Gruß Abakus
>
dachte das war der entscheidende Tipp. Komme aber leider nicht auf den Ansatz. Die Allgemeine Form ist doch y' + a(x)y = b, aber was ist dann mein a? ln(cos(x)) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matthias!
Du kommst hier mit Trennung der Variablen schnell zum Ziel:
$$y' \ = \ [mm] e^y*\cos(x)$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{dy}{dx} [/mm] \ = \ [mm] e^y*\cos(x)$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{dy}{e^y} [/mm] \ = \ [mm] \cos(x) [/mm] \ * \ dx$$
[mm] $$\blue{\integral}{e^{-y} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{\cos(x) \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 So 29.06.2008 | | Autor: | matthias79 |
Ok danke loddar
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