DGL lösen mit Substitution < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Di 28.06.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, ich habe folgende DGL:
y' = [mm] (x^2) [/mm] * [mm] (y-(y^2)) [/mm] y(0)=0.5
Um diese zu lösen soll ich nun mit z=1/y Substituieren, aber ich weiss nicht wie die Funktion danach aus sähe, da Sie ja dann in Form
z' = xxxx sein müsste, kann mir da jmd weiter helfen, es ist ja vom Problem her das selbe wie bei Trennung der Variablen, da weiss ich aber die die Funktion danach die Form z' = (1/x)(f(z)-z) hat. Das ist genau das was mir hier fehlt.
Danke im Vorraus.
PS: Ich habe schon den folgende Lösungsansatz, dabei kommt nur für den Anfangswert etwas merkwürdiges raus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hi, MrPink,
das Gfrett bei der Aufgabe liegt ganz klar beim Integral
[mm] \integral{\bruch{1}{y-y^{2}}dx}
[/mm]
Du hast dafür als Ergebnis geschrieben:
ln(y) - ln(y-1) oder auch: [mm] ln(\bruch{y}{y-1})
[/mm]
Die Betragstriche hast Du leichtsinniger Weise weggelassen!
Ist das OK?
Nun: Das Problem ist die zugehörige Definitionsmenge.
In unserem Fall kommt nur in Frage: y < 0 oder 0 < y < 1 oder y > 1.
Dein Anfangswertproblem lautet ja: y(0) = 0,5.
Folgerung: 0 < y < 1 ist richtig!!
Daher stimmt Dein obiger Term nicht; er müsste lauten:
[mm] ln(\bruch{y}{1-y})
[/mm]
Wenn Du nun in die Gleichung
[mm] ln(\bruch{y}{1-y}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + c
für x=0 und für y=0,5 einsetzt, erhältst Du c = 0.
Naja: Und nun ist's leicht.
Am Ende steht jedenfalls: y = [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{3}x^{3}}}{e^{\bruch{1}{3}x^{3}}+1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Mi 29.06.2005 | | Autor: | MrPink |
Super, vielen Dank! Jetzt kommt auch nicht mehr PI*i für c raus 
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