DGL lösen Zerfall komplexer < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Do 16.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | Ein radioaktives Nuklid N zerfällt nach dem Gesetz
−N′(t) = [mm] \lambda [/mm] * N(t),
wobei [mm] \lambda [/mm] > 0 die Zerfallskonstante und N(t) die Anzahl der Atome zur Zeit t ist.
Ein Zerfallsprodukt M sei wieder radioaktiv mit der Zerfallskonstanten μ > 0,
μ ungleich [mm] \lambda [/mm] . Dann gilt für M(t) die Differentialgleichung
M′(t) = N(t) − μM(t).
Bestimme M(t) |
Hallo!
also durch Trennung der Variablen hab ich die Lösung für N(t) schon hergeleitet, nämlich N(t) = [mm] N_0 [/mm] * [mm] exp(-\lambda*t)
[/mm]
jetzt dachte ich dass ich einfach das gleiche nochmal mache um M zu bestimmen aber irgendwie krieg ich das nicht hin, habt ihr vlt nen tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Do 16.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ein radioaktives Nuklid N zerfällt nach dem Gesetz
> −N′(t) = [mm]\lambda[/mm] * N(t),
> wobei [mm]\lambda[/mm] > 0 die Zerfallskonstante und N(t) die
> Anzahl der Atome zur Zeit t ist.
> Ein Zerfallsprodukt M sei wieder radioaktiv mit der
> Zerfallskonstanten μ > 0,
> μ ungleich [mm]\lambda[/mm] . Dann gilt für M(t) die
> Differentialgleichung
> M′(t) = N(t) − μM(t).
>
> Bestimme M(t)
> Hallo!
> also durch Trennung der Variablen hab ich die Lösung für
> N(t) schon hergeleitet, nämlich N(t) = [mm]N_0[/mm] *
> [mm]exp(-\lambda*t)[/mm]
> jetzt dachte ich dass ich einfach das gleiche nochmal
> mache um M zu bestimmen aber irgendwie krieg ich das nicht
> hin, habt ihr vlt nen tipp?
Aus
$M′(t) = N(t) - [mm] \mu [/mm] M(t)$
und Deiner obigen Lösung erhälst Du die inhomogene lineare DGL 1.Ordnung
$M'(t) = - [mm] \mu [/mm] M(t) [mm] +N_0e^{-\lambda t}$
[/mm]
Nun schau mal hier: https://www.vorhilfe.de/read?i=574513
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 16.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
JA STIMMT!! hab ich gar nicht dran gedacht!
also ist die lösung der homogenen gleichung die erst bestimmt wird: M(t) = c * [mm] exp(-\mu*t)
[/mm]
und damit kann ich ja dann entsprechend auch die lösung der inhomogenen gleichung bilden meine frage die jtzt nur noch bleibt ist, wie wähl ich jetzt das c? eigentlich wärs ja der anfangswert, aber ist das jetzt auch wieder [mm] N_0? [/mm] weil bei M(t) handelt es sich ja um der Zerfall des Zerfallsprodukts von N(t), dann müsste das doch jetzt nen anderes c sein oder irr ich mich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 16.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
Also bin jetzt so weit aber irgendwie passt es nicht. seht ihr meinen fehler?
M(t) = [mm] e^{-\mu*t} [/mm] ( c + [mm] \int_{0}^{t} c*e^{t*(\mu-\delta)} [/mm] dt)
= [mm] e^{-\mu*t} [/mm] ( c + [mm] \bruch{c*e^{t*(\mu-\delta)}}{\mu-\delta} -\bruch{c}{\mu-\delta})
[/mm]
aber das passt ja nicht oder??
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Hallo Achtzig,
> Also bin jetzt so weit aber irgendwie passt es nicht. seht
> ihr meinen fehler?
>
> M(t) = [mm]e^{-\mu*t}[/mm] ( c + [mm]\int_{0}^{t} c*e^{t*(\mu-\delta)}[/mm]
> dt)
Nun, die Konstante c im Integranden hat mit der außerhalb des Integranden stehenden Konstanten nichts zu tun.
> = [mm]e^{-\mu*t}[/mm] ( c +
> [mm]\bruch{c*e^{t*(\mu-\delta)}}{\mu-\delta} -\bruch{c}{\mu-\delta})[/mm]
>
>
> aber das passt ja nicht oder??
Im Prinzip ja.
Gruß
MathePower
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Hallo Achtzig,
> JA STIMMT!! hab ich gar nicht dran gedacht!
> also ist die lösung der homogenen gleichung die erst
> bestimmt wird: M(t) = c * [mm]exp(-\mu*t)[/mm]
> und damit kann ich ja dann entsprechend auch die lösung
> der inhomogenen gleichung bilden meine frage die jtzt nur
> noch bleibt ist, wie wähl ich jetzt das c? eigentlich
> wärs ja der anfangswert, aber ist das jetzt auch wieder
> [mm]N_0?[/mm] weil bei M(t) handelt es sich ja um der Zerfall des
> Zerfallsprodukts von N(t), dann müsste das doch jetzt nen
> anderes c sein oder irr ich mich?
Mache das c jetzt von t abhängig, demnach lautet der Ansatz:
[mm]M\left(t\right)=c\left(t\right)*e^{-\mu*t}[/mm]
Setze dies jetzt in die gegebene DGL ein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 16.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
sorry aber verstehe ich nicht so wirklich. eigentlich müsste das doch richtig sein was ich da gepostet habe oder nicht? und das mit dem c(t) versteh ich nicht, sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Do 16.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest deine Dgl schon richtig geloest. Nun nimmt man i.A. an, dass M(0)=0 ist und [mm] N(0)=N_0) [/mm] also musst du das einsetzen.
(das mit dem c(t) ist die Methode der Variation der Konstanten, die du beinahe mit deiner expliziten Formel eigentlich benutzt hast. denn wie kommst du sonst auf deine Loesung der inhomogenen Dgl?)
also musst du das einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Do 16.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
also wenn man annimmt, dass M(0) = 0 ist, dann muss man ja davon ausgehen, dass das erste c = 0 ist und durch das [mm] N_0 [/mm] wird das restliche c zu [mm] N_0
[/mm]
-->
M(t) = [mm] e^{-\mu\cdot{}t} [/mm] * ( [mm] \bruch{N_0\cdot{}e^{t\cdot{}(\mu-\delta)}}{\mu-\delta} -\bruch{N_0}{\mu-\delta}) [/mm]
richtig oder falsch?
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Hallo Achtzig,
> also wenn man annimmt, dass M(0) = 0 ist, dann muss man ja
> davon ausgehen, dass das erste c = 0 ist und durch das [mm]N_0[/mm]
> wird das restliche c zu [mm]N_0[/mm]
>
> -->
>
> M(t) = [mm]e^{-\mu\cdot{}t}[/mm] * (
> [mm]\bruch{N_0\cdot{}e^{t\cdot{}(\mu-\delta)}}{\mu-\delta} -\bruch{N_0}{\mu-\delta})[/mm]
>
>
>
> richtig oder falsch?
>
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Do 16.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
klasse!! danke euch für eure hilfe!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Do 16.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
habe gerade nochmal ne probe gemacht indem ich das M(t) ableite (nach Produktregel nach t)
aber dann fehlt mir genau das [mm] -\delta [/mm] vor dem N(t) also oben aus der differentialgleichung.
kann es sein dass bei der Lösung M(t) noch ein kleines [mm] (-\delta) [/mm] fehlt?
--> also mit würde es dann so aussehen:
M(t) = [mm] e^{-\mu\cdot{}t} [/mm] ( [mm] \bruch{N_0\cdot{} (-\delta) \cdot{}e^{t\cdot{}(\mu-\delta)}}{\mu-\delta} -\bruch{N_0}{\mu-\delta})
[/mm]
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Hallo Achtzig,
> habe gerade nochmal ne probe gemacht indem ich das M(t)
> ableite (nach Produktregel nach t)
> aber dann fehlt mir genau das [mm]-\delta[/mm] vor dem N(t) also
> oben aus der differentialgleichung.
> kann es sein dass bei der Lösung M(t) noch ein kleines
> [mm](-\delta)[/mm] fehlt?
Nein. Rechne das doch nochmal nach.
> --> also mit würde es dann so aussehen:
>
> M(t) = [mm]e^{-\mu\cdot{}t}[/mm] ( [mm]\bruch{N_0\cdot{} (-\delta) \cdot{}e^{t\cdot{}(\mu-\delta)}}{\mu-\delta} -\bruch{N_0}{\mu-\delta})[/mm]
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
Hallo!
sorry aber habe gerade gesehn dass die aufgabenstellung oben falsch von mir abgeschrieben wurde: da muss stehen:
M′(t) = [mm] \lambda*N(t) [/mm] − μM(t)
dann stimmt doch was ich zuletzt geschrieben hatte oder?
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Hallo Achtzig,
> Hallo!
> sorry aber habe gerade gesehn dass die aufgabenstellung
> oben falsch von mir abgeschrieben wurde: da muss stehen:
>
> M′(t) = [mm]\lambda*N(t)[/mm] − μM(t)
>
> dann stimmt doch was ich zuletzt geschrieben hatte oder?
Fast:
[mm]M(t) = e^{-\mu\cdot{}t} ( \bruch{N_0\cdot{} (\red{+}\delta) \cdot{}e^{t\cdot{}(\mu-\delta)}}{\mu-\delta} -\bruch{\red{\delta}N_0}{\mu-\delta}) [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Achtzig |
jo stimmt danke!!
habs mittlerweile hinbekommen und bin auch darauf gekommen..
hab mich bisschen blöd angestellt :)
danke euch allen!
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