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| Aufgabe | Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung [mm] y'=2y+x*e^{2x}. [/mm]
Probe: Differenzieren Sie Ihre Lösung und vergleichen Sie! |
Hallo,
hier meine Herangehensweise:
Homogene DGL: y'-2y=0
[mm] \underline{Trennung der Variablen der homogenen DGL}:
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}-2y=0 [/mm] --> [mm] \integral{\bruch{1}{2y}dy}=\integral{dx} [/mm] --> ln(2y)=x+C --> [mm] e^{ln(2y)}=e^{x+C} [/mm] --> [mm] 2y=e^{x}*e^{C} [/mm] --> [mm] y=\bruch{e^{x}*K}{2}=\bruch{1}{2}e^{x}K [/mm] mit [mm] K=e^{C}
[/mm]
[mm] \underline{Variation der Konstanten}:
[/mm]
Lösungsansatz: [mm] y=\bruch{1}{2}e^{x}K(x)
[/mm]
Ableiten: [mm] y'=\bruch{1}{2}e^{x}K(x)+\bruch{1}{2}e^{x}K'(x)
[/mm]
Einsetzen von y und y' in inhomogene DGL: [mm] \bruch{1}{2}e^{x}K(x)+\bruch{1}{2}e^{x}K'(x)=2*\bruch{1}{2}e^{x}K(x)+x*e^{2x}
[/mm]
Hier das Problem, es kürzt sich nicht K(x) weg ???
Danke für eure Hilfe.
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> Man bestimme die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung [mm]y'=2y+x*e^{2x}.[/mm]
> Probe: Differenzieren Sie Ihre Lösung und vergleichen
> Sie!
> Hallo,
>
> hier meine Herangehensweise:
>
> Homogene DGL: y'-2y=0
>
> [mm]\underline{Trennung\ der\ Variablen\ der\ homogenen\ DGL}:[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}-2y=0[/mm] -->
> [mm]\integral{\bruch{1}{2y}dy}=\integral{dx}[/mm] --> ln(2y)=x+C ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> --> [mm]e^{ln(2y)}=e^{x+C}[/mm] --> [mm]2y=e^{x}*e^{C}[/mm] -->
> [mm]y=\bruch{e^{x}*K}{2}=\bruch{1}{2}e^{x}K[/mm] mit [mm]K=e^{C}[/mm]
der mit --> markierte Schluss ist falsch !
>
> [mm]\underline{Variation\ der\ Konstanten}:[/mm]
>
> Lösungsansatz: [mm]y=\bruch{1}{2}e^{x}K(x)[/mm]
>
> Ableiten: [mm]y'=\bruch{1}{2}e^{x}K(x)+\bruch{1}{2}e^{x}K'(x)[/mm]
>
> Einsetzen von y und y' in inhomogene DGL:
> [mm]\bruch{1}{2}e^{x}K(x)+\bruch{1}{2}e^{x}K'(x)=2*\bruch{1}{2}e^{x}K(x)+x*e^{2x}[/mm]
>
> Hier das Problem, es kürzt sich nicht K(x) weg ???
>
> Danke für eure Hilfe.
LG Al-Chw.
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> > Man bestimme die allgemeine Lösung der
> > Differentialgleichung [mm]y'=2y+x*e^{2x}.[/mm]
> > Probe: Differenzieren Sie Ihre Lösung und vergleichen
> > Sie!
> > Hallo,
> >
> > hier meine Herangehensweise:
> >
> > Homogene DGL: y'-2y=0
> >
> > [mm]\underline{Trennung\ der\ Variablen\ der\ homogenen\ DGL}:[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dx}-2y=0[/mm] -->
> > [mm]\integral{\bruch{1}{2y}dy}=\integral{dx}[/mm] --> ln(2y)=x+C
>
> > --> [mm]e^{ln(2y)}=e^{x+C}[/mm] --> [mm]2y=e^{x}*e^{C}[/mm] -->
> > [mm]y=\bruch{e^{x}*K}{2}=\bruch{1}{2}e^{x}K[/mm] mit [mm]K=e^{C}[/mm]
>
> der mit --> markierte Schluss ist falsch !
es kann ja nur hier die integration falsch sein, aber 1/x --> ln(x) und wenn ich jetzt einfach mit u=2y substituiere, dann ist doch 1/u --> ln(u) --> resubstitution ln(2y)
...???
>
>
> >
> > [mm]\underline{Variation\ der\ Konstanten}:[/mm]
> >
> > Lösungsansatz: [mm]y=\bruch{1}{2}e^{x}K(x)[/mm]
> >
> > Ableiten: [mm]y'=\bruch{1}{2}e^{x}K(x)+\bruch{1}{2}e^{x}K'(x)[/mm]
> >
> > Einsetzen von y und y' in inhomogene DGL:
> >
> [mm]\bruch{1}{2}e^{x}K(x)+\bruch{1}{2}e^{x}K'(x)=2*\bruch{1}{2}e^{x}K(x)+x*e^{2x}[/mm]
> >
> > Hier das Problem, es kürzt sich nicht K(x) weg ???
> >
> > Danke für eure Hilfe.
>
> LG Al-Chw.
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.... aber du=2dy.
Das Differential musst du auch Substituieren.
Einfacher: [mm] \int\frac{1}{2y}dy=\frac{1}{2}\int\frac{1}{y}dy [/mm] und jetzt integrieren.
Gruß Patrick
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so jetzt starte ich mal einen neuen Anlauf:
Homogene DGL: y'-2y=0
[mm] \underline{Trennung der Variablen der homogenen DGL}:
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}-2y=0 [/mm] --> [mm] \bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{y}dy}=\integral{dx} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{2}ln(y)=x+C [/mm] --> [mm] ln(y^{\bruch{1}{2}})=x+C [/mm] --> [mm] y^{\bruch{1}{2}}=e^{x+C} [/mm] --> [mm] y=(e^{x+C})^{2} [/mm] --> [mm] y=(e^{x}*K)^{2} [/mm]
--> [mm] y=e^{2x}+2Ke^{x}+K^{2}
[/mm]
STimmts bis jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> so jetzt starte ich mal einen neuen Anlauf:
>
> Homogene DGL: y'-2y=0
>
> [mm]\underline{Trennung der Variablen der homogenen DGL}:[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}-2y=0[/mm] -->
> [mm]\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{y}dy}=\integral{dx}[/mm] -->
> [mm]\bruch{1}{2}ln(y)=x+C[/mm] --> [mm]ln(y^{\bruch{1}{2}})=x+C[/mm] -->
> [mm]y^{\bruch{1}{2}}=e^{x+C}[/mm] --> [mm]y=(e^{x+C})^{2}[/mm] -->
> [mm]y=(e^{x}*K)^{2}[/mm]
>
> --> [mm]y=e^{2x}+2Ke^{x}+K^{2}[/mm]
Donnerwetter, wie kommt dieses Monstrum denn zustande ? . Ich kann mirs schon denken, aber meine Finger streiken bei dem Versuch Deine "Rechenregeln" zu tippen.
Halte Dich an die Rechenregeln, die wirklich gelten:
[mm](e^{x+C})^{2}= e^{2x+2C}[/mm]
FRED
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> STimmts bis jetzt?
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