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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
[mm] \left(1+t^2\right)*y' = \bruch{1}{2y+2}[/mm]
mit [mm] y\left(0\right) = 0[/mm] |
Hallo,
die DGL kann man umformen zu:
[mm] y' = \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1+t^2}*\bruch{1}{y+1}[/mm]
Also folgt mit getrennten Veränderlichen und
mit [mm] h\left(t\right) = \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1+t^2}[/mm] und [mm] g\left(y\right) = \bruch{1}{y+1}[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*arctan\left(t\right) = \int_{0}^{t} \bruch{1}{1+s^2}\, ds = \int_{0}^{y} s+1\, ds = \bruch{y}{2} + y[/mm]
Also
[mm] y^2 +2*y - arctan\left(t\right) = 0[/mm]
und
[mm]y_{1/2} = \bruch{-1}{2} \pm\wurzel{\bruch{1}{4}+arctan\left(t\right)}[/mm]
Also [mm] y_1\left(0\right) = 0 [/mm] okay,
Aber [mm] y_2\left(0\right) = -1 [/mm].
Also löst nur [mm] y_1\left(t\right) [/mm], aber gibt es eine andere Argumentation, ausser die Anfangswerte zu überprüfen?
MfG coffeee5000
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Hallo coffeee5000,
> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems:
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> [mm]\left(1+t^2\right)*y' = \bruch{1}{2y+2}[/mm]
>
> mit [mm]y\left(0\right) = 0[/mm]
> Hallo,
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> die DGL kann man umformen zu:
>
> [mm]y' = \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1+t^2}*\bruch{1}{y+1}[/mm]
>
> Also folgt mit getrennten Veränderlichen und
>
> mit [mm]h\left(t\right) = \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1+t^2}[/mm] und
> [mm]g\left(y\right) = \bruch{1}{y+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*arctan\left(t\right) = \int_{0}^{t} \bruch{1}{1+s^2}\, ds = \int_{0}^{y} s+1\, ds = \bruch{y}{2} + y[/mm]
>
> Also
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> [mm]y^2 +2*y - arctan\left(t\right) = 0[/mm]
>
> und
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> [mm]y_{1/2} = \bruch{-1}{2} \pm\wurzel{\bruch{1}{4}+arctan\left(t\right)}[/mm]
Die Lösungen lauen doch:
[mm]y_{1/2} = \red{-1} \pm\wurzel{\red{1}+arctan\left(t\right)}[/mm]
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> Also [mm]y_1\left(0\right) = 0[/mm] okay,
>
> Aber [mm]y_2\left(0\right) = -1 [/mm].
>
> Also löst nur [mm]y_1\left(t\right) [/mm], aber gibt es eine andere
> Argumentation, ausser die Anfangswerte zu überprüfen?
Anhand der Anfangsbedingungen stellst Du doch hier
erst die infrage kommende Lösung fest.
>
> MfG coffeee5000
Gruss
MathePower
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Okay, danke!
Man man, immer diese Rechenfehler.
Ich hatte nur überlegt ob man noch auf anderem Wege erkennen könnte welche Lösung die Richtige ist.
Dank dir
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