DGL in 3 varianten lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Sa 31.05.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Die Folgende DGL ist zu lösen:
$y' = 3x + 2y $
a) durch Trennung der Variablen
b) durch substitution
c) durch aufsuchen einer Partikulären Lösung.
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irgendwie kann ich mit mit den DGL's nicht anfreunden :-(
soll hier generell alle Lösungen gleich sein ?
also wenn ich durch Trennung der Variablen was raus habe ist dieses gleich den restlichen Lösungen ?
a=b=c , halt auf einen anderen weg?
habe unter a diesen Ansatz gemacht:
$y' = 3x + 2y $
$y' - 2y = [mm] \underbrace{3x}_{=g(x)} [/mm] $
$y' - 2y = 0 $
$y' = 2y $
[mm] $\bruch{dy}{dx} [/mm] = 2y$
[mm] $\bruch{dy}{y} [/mm] = 2dx$
[mm] \integral{\bruch{dy}{y}} [/mm] = [mm] \integral{2dx}
[/mm]
$ ln |y| = 2x + ln |C|$
$ln | [mm] \bruch{y}{C}| [/mm] = 2x$
[mm] \bruch{y}{C} [/mm] = [mm] e^{2x}
[/mm]
$y = [mm] e^{2x} [/mm] * C$
C ist von x abhängig also:
[mm] $\red{y} [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] * C(x)$
[mm] $\blue{y'} [/mm] = [mm] 2e^{2x} [/mm] * C(x) + [mm] e^{2x} [/mm] * C'(x)$
nun diese beide Terme in die Ausgangs gleichung einsetzen $ y' - 2y = [mm] \underbrace{3x}_{=g(x)} [/mm] $
[mm] $\blue{ 2e^{2x} * C(x) + e^{2x} * C'(x)} -2\red{e^{2x} * C(x)} [/mm] = 3x$
übrig bleibt :
$ [mm] e^{2x} [/mm] * C'(x) = 3x$
bzw.: $ C'(x) = [mm] \bruch{3x}{e^{2x}} [/mm] $
wenn man das integriert auf beiden seiten nach x
[mm] $\integral{C'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{ \bruch{3x}{e^{2x}} dx}$
[/mm]
hat man : Online Integration
$ [mm] \green{C(x)} =3e^{-2x}(\bruch{-x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4})$
[/mm]
nun kann man dieses C(x) in die Gleichung [mm] $\red{y} [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] * C(x)$ einsetzen
$y = [mm] e^{2x} *\green{3e^{-2x}(\bruch{-x}{2} - \bruch{1}{4})}$
[/mm]
$y = [mm] e^{2x} *\green{3e^{-2x}(\bruch{-x}{2} - \bruch{1}{4})}$
[/mm]
$y = [mm] 3e^{-2x+2x}(\bruch{-x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4})$
[/mm]
$y = [mm] 3e^{0}(\bruch{-x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4})$
[/mm]
$y = [mm] 3(\bruch{-x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{-6x-3}{4} [/mm] $
etwas aufwändig  sollte aber stimmen?
und wenn ich jetzt die lösungswege b, und c einschlage muss das gleiche rauskommen?
mfg
masa
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Hallo masa-ru,
> Die Folgende DGL ist zu lösen:
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> [mm]y' = 3x + 2y[/mm]
>
> a) durch Trennung der Variablen
> b) durch substitution
> c) durch aufsuchen einer Partikulären Lösung.
>
> irgendwie kann ich mit mit den DGL's nicht anfreunden :-(
>
> soll hier generell alle Lösungen gleich sein ?
>
> also wenn ich durch Trennung der Variablen was raus habe
> ist dieses gleich den restlichen Lösungen ?
>
> a=b=c , halt auf einen anderen weg?
>
>
> habe unter a diesen Ansatz gemacht:
>
> [mm]y' = 3x + 2y[/mm]
>
> [mm]y' - 2y = \underbrace{3x}_{=g(x)}[/mm]
> [mm]y' - 2y = 0[/mm]
>
> [mm]y' = 2y[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx} = 2y[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{y} = 2dx[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{dy}{y}}[/mm] = [mm]\integral{2dx}[/mm]
>
> [mm]ln |y| = 2x + ln |C|[/mm]
>
> [mm]ln | \bruch{y}{C}| = 2x[/mm]
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> [mm]\bruch{y}{C}[/mm] = [mm]e^{2x}[/mm]
> [mm]y = e^{2x} * C[/mm]
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> C ist von x abhängig also:
>
> [mm]\red{y} = e^{2x} * C(x)[/mm]
> [mm]\blue{y'} = 2e^{2x} * C(x) + e^{2x} * C'(x)[/mm]
>
> nun diese beide Terme in die Ausgangs gleichung einsetzen
> [mm]y' - 2y = \underbrace{3x}_{=g(x)}[/mm]
>
> [mm]\blue{ 2e^{2x} * C(x) + e^{2x} * C'(x)} -2\red{e^{2x} * C(x)} = 3x[/mm]
>
> übrig bleibt :
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> [mm]e^{2x} * C'(x) = 3x[/mm]
>
> bzw.: [mm]C'(x) = \bruch{3x}{e^{2x}}[/mm]
>
> wenn man das integriert auf beiden seiten nach x
>
> [mm]\integral{C'(x) dx} = \integral{ \bruch{3x}{e^{2x}} dx}[/mm]
>
> hat man :
> ![[]](/images/popup.gif) Online Integration
>
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> [mm]\green{C(x)} =3e^{-2x}(\bruch{-x}{2} - \bruch{1}{4})[/mm]
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> nun kann man dieses C(x) in die Gleichung [mm]\red{y} = e^{2x} * C(x)[/mm]
> einsetzen
>
> [mm]y = e^{2x} *\green{3e^{-2x}(\bruch{-x}{2} - \bruch{1}{4})}[/mm]
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> [mm]y = e^{2x} *\green{3e^{-2x}(\bruch{-x}{2} - \bruch{1}{4})}[/mm]
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> [mm]y = 3e^{-2x+2x}(\bruch{-x}{2} - \bruch{1}{4})[/mm]
>
> [mm]y = 3e^{0}(\bruch{-x}{2} - \bruch{1}{4})[/mm]
>
> [mm]y = 3(\bruch{-x}{2} - \bruch{1}{4}) = \bruch{-6x-3}{4}[/mm]
Korrekt lautet die Lösung:
[mm]y\left(x\right)=-\bruch{6x+3}{4}+\blue{c*e^{2x}}[/mm]
>
> etwas aufwändig sollte aber stimmen?
Da hast Du die Lösung der homogenen DGL vergessen.
>
> und wenn ich jetzt die lösungswege b, und c einschlage muss
> das gleiche rauskommen?
Ja.
>
> mfg
> masa
Gruß
MathePower
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