DGL eindeutig lösbar? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Di 22.02.2011 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Dgl $ y' = [mm] 6x\sqrt[3]{y^2} [/mm] $ auf eindeutige Lösbarkeit. |
Moin!
In Vorbereitung auf die Klausuren war das eine Übungsaufgabe, zu der sich mir ein paar Fragen stellten.
Die rechte Seite der Dgl ist stetig, also ist sie lokal lösbar.
Nun wollte ich das Ganze noch auf Lipschitz-Stetigkeit bzgl $ y $ untersuchen.
Es ist $ y' = f(x,y) = [mm] 6x*\sqrt[3]{y^2} [/mm] $ und $ [mm] \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] = [mm] 4xy^{-\frac{1}{3}} [/mm] $
$ f $ ist also bzgl $ y $ in allen Punkten $ [mm] (x_0, y_0) [/mm] $ mit $ [mm] y_0 \not= [/mm] 0 $ stetig partiell differenzierbar. Daraus folgt, dass $ f $ lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Nach Picard-Lindelöff existiert also eine eindeutige Lösung der DGL.
Soweit richtig?
Ich war nun auf der Suche nach einer geeigneten Lipschitz-Konstante und war bisher nicht erfolgreich.
Ich möchte zeigen, dass [mm] $\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] = [mm] 4xy^{-\frac{1}{3}}$ [/mm] durch ein $ L [mm] \in \IR [/mm] $ beschränkt ist, so dass ich dieses $ L $ mit Hilfe des Mittelwertsatzes als Lipschitz-konstante wählen kann.
Doch wie geh ich dabei vor? Wird das denn überhaupt klappen?
Freue mich über jede Hilfe!
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Mi 23.02.2011 | | Autor: | fred97 |
1. $y [mm] \equiv [/mm] 0$ ist eine Lösung der DGL.
2. Für jedes $c [mm] \in \IR$ [/mm] ist $y(x):= [mm] (2x+c)^3$ [/mm] eine Lösung der DGL (Trennung der Variablen)
3. Viel weiter weg von "eindeutige Lösbarkeit" kann eine DGL kaum sein !
4. Mit Picard-Lindelöf brauchst Du bei obiger Aufgabe nicht kommen, denn Du hast kein Anfangswertproblem gegeben.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Mi 23.02.2011 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
prima, vielen Dank für Deine Hilfe!
Viele Grüße
ChopSuey
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