DGL allgemeine Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 So 21.04.2013 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die die allgemeine Lösung von
[mm] $y'=\frac{5x+2y+1}{-2x+y-4}$ [/mm] |
Hallo,
zuerst habe ich die DGL umgeformt:
[mm] $y'=\frac{5x+2y+1}{-2x+y-4}$
[/mm]
[mm] $\gdw y'+\frac{-5x-2y-1}{-2x+y-4}=0$
[/mm]
Prüfen auf Exaktheit
$f(x,y)=-5x-2y-1$
$g(x,y)=-2x+y-4$
[mm] $\frac{\delta f(x,y)}{\delta y}=-2=\frac{\delta g(x,y)}{\delta x} \Rightarrow$ [/mm] DGL exakt
[mm] $F(x,y)=\int [/mm] (-5x-2y-1)dx + [mm] \varphi(y)=-\frac{5}{2}x^2-2xy-x+\varphi(y)$
[/mm]
[mm] $F(x,y)=\int [/mm] (-2x+y-4)dx + [mm] \omega(x)=-2xy+\frac{1}{2}y^2-4y+\omega(x)$
[/mm]
Übereinstimmung beider Ausdrücke mit
[mm] $\varphi(y)=\frac{1}{2}y^2-4y+c_1$
[/mm]
[mm] $\omega(x)=-\frac{5}{2}x^2-x+c_1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow F(x,y)=-\frac{5}{2}x^2-2xy-x+\frac{1}{2}y^2-4y+c_1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y^2+(-4x-8)y-5x^2-2x-c_1=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y=2x+4\pm\sqrt{9x^2+18x+16+c_1}$
[/mm]
Ist das so korrekt?
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Hallo Trolli,
> Bestimmen Sie die die allgemeine Lösung von
> [mm]y'=\frac{5x+2y+1}{-2x+y-4}[/mm]
> Hallo,
>
> zuerst habe ich die DGL umgeformt:
> [mm]y'=\frac{5x+2y+1}{-2x+y-4}[/mm]
> [mm]\gdw y'+\frac{-5x-2y-1}{-2x+y-4}=0[/mm]
>
> Prüfen auf Exaktheit
> [mm]f(x,y)=-5x-2y-1[/mm]
> [mm]g(x,y)=-2x+y-4[/mm]
>
> [mm]\frac{\delta f(x,y)}{\delta y}=-2=\frac{\delta g(x,y)}{\delta x} \Rightarrow[/mm]
> DGL exakt
>
> [mm]F(x,y)=\int (-5x-2y-1)dx + \varphi(y)=-\frac{5}{2}x^2-2xy-x+\varphi(y)[/mm]
>
> [mm]F(x,y)=\int (-2x+y-4)dx + \omega(x)=-2xy+\frac{1}{2}y^2-4y+\omega(x)[/mm]
>
> Übereinstimmung beider Ausdrücke mit
> [mm]\varphi(y)=\frac{1}{2}y^2-4y+c_1[/mm]
> [mm]\omega(x)=-\frac{5}{2}x^2-x+c_1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow F(x,y)=-\frac{5}{2}x^2-2xy-x+\frac{1}{2}y^2-4y+c_1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y^2+(-4x-8)y-5x^2-2x-c_1=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow y=2x+4\pm\sqrt{9x^2+18x+16+c_1}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Die Lösung stimmt auf jeden Fall. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 21.04.2013 | | Autor: | Trolli |
> Hallo Trolli,
>
> > Bestimmen Sie die die allgemeine Lösung von
> > [mm]y'=\frac{5x+2y+1}{-2x+y-4}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > zuerst habe ich die DGL umgeformt:
> > [mm]y'=\frac{5x+2y+1}{-2x+y-4}[/mm]
> > [mm]\gdw y'+\frac{-5x-2y-1}{-2x+y-4}=0[/mm]
> >
> > Prüfen auf Exaktheit
> > [mm]f(x,y)=-5x-2y-1[/mm]
> > [mm]g(x,y)=-2x+y-4[/mm]
> >
> > [mm]\frac{\delta f(x,y)}{\delta y}=-2=\frac{\delta g(x,y)}{\delta x} \Rightarrow[/mm]
> > DGL exakt
> >
> > [mm]F(x,y)=\int (-5x-2y-1)dx + \varphi(y)=-\frac{5}{2}x^2-2xy-x+\varphi(y)[/mm]
>
> >
> > [mm]F(x,y)=\int (-2x+y-4)dx + \omega(x)=-2xy+\frac{1}{2}y^2-4y+\omega(x)[/mm]
>
> >
> > Übereinstimmung beider Ausdrücke mit
> > [mm]\varphi(y)=\frac{1}{2}y^2-4y+c_1[/mm]
> > [mm]\omega(x)=-\frac{5}{2}x^2-x+c_1[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow F(x,y)=-\frac{5}{2}x^2-2xy-x+\frac{1}{2}y^2-4y+c_1[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow y^2+(-4x-8)y-5x^2-2x-c_1=0[/mm]
> > [mm]\Rightarrow y=2x+4\pm\sqrt{9x^2+18x+16+c_1}[/mm]
>
> >
> > Ist das so korrekt?
>
>
> Die Lösung stimmt auf jeden Fall.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ok, danke für´s drüberschauen.
Eine Frage habe ich dazu noch, wie heißt der Typ dieser DGL?
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Hallo Trolli,
> > Hallo Trolli,
> >
> > > Bestimmen Sie die die allgemeine Lösung von
> > > [mm]y'=\frac{5x+2y+1}{-2x+y-4}[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > zuerst habe ich die DGL umgeformt:
> > > [mm]y'=\frac{5x+2y+1}{-2x+y-4}[/mm]
> > > [mm]\gdw y'+\frac{-5x-2y-1}{-2x+y-4}=0[/mm]
> > >
> > > Prüfen auf Exaktheit
> > > [mm]f(x,y)=-5x-2y-1[/mm]
> > > [mm]g(x,y)=-2x+y-4[/mm]
> > >
> > > [mm]\frac{\delta f(x,y)}{\delta y}=-2=\frac{\delta g(x,y)}{\delta x} \Rightarrow[/mm]
> > > DGL exakt
> > >
> > > [mm]F(x,y)=\int (-5x-2y-1)dx + \varphi(y)=-\frac{5}{2}x^2-2xy-x+\varphi(y)[/mm]
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> > >
> > > [mm]F(x,y)=\int (-2x+y-4)dx + \omega(x)=-2xy+\frac{1}{2}y^2-4y+\omega(x)[/mm]
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> > >
> > > Übereinstimmung beider Ausdrücke mit
> > > [mm]\varphi(y)=\frac{1}{2}y^2-4y+c_1[/mm]
> > > [mm]\omega(x)=-\frac{5}{2}x^2-x+c_1[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow F(x,y)=-\frac{5}{2}x^2-2xy-x+\frac{1}{2}y^2-4y+c_1[/mm]
>
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> > >
> > > [mm]\Rightarrow y^2+(-4x-8)y-5x^2-2x-c_1=0[/mm]
> > >
> [mm]\Rightarrow y=2x+4\pm\sqrt{9x^2+18x+16+c_1}[/mm]
> >
> > >
> > > Ist das so korrekt?
> >
> >
> > Die Lösung stimmt auf jeden Fall.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Ok, danke für´s drüberschauen.
>
> Eine Frage habe ich dazu noch, wie heißt der Typ dieser
> DGL?
Diese DGL hat keinen bestimmten Namen.
Es ist eine DGL der Form
[mm]y'=f\left(\bruch{a*x+b*y+c}{\alpha*x+\beta*y+\gamma}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 So 21.04.2013 | | Autor: | Trolli |
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> > Ok, danke für´s drüberschauen.
> >
> > Eine Frage habe ich dazu noch, wie heißt der Typ dieser
> > DGL?
>
>
> Diese DGL hat keinen bestimmten Namen.
>
> Es ist eine DGL der Form
>
> [mm]y'=f\left(\bruch{a*x+b*y+c}{\alpha*x+\beta*y+\gamma}\right)[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
Ok, in der Aufgabenstellung wurde noch nach einem Typ gefragt aber mir ist nichts passendes eingefallen außer das es eine exakte DGL ist. War mir aber nicht sicher ob dies ein DGL Typ ist.
Vielen Dank, schönen Abend noch.
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