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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine und, sofern ein Anfangs-/Randbedingung angegeben ist, die pratikuläre Lösung folgender Differentialgleichung. Charakterisieren Sie die DGL's möglichst umfassend
x²y'+ay=e^(a/x) wobei [mm] a\in \IR [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich habe in einer Übung folgende Aufgabenstellung bekommen, ich würde gerne wissen ob ich die Lösung der oben genannten DGL korrekt gerechnet habe. Desweiteren würde ich gerne wissen wie man eine DGL möglichst "umfangreich" charakterisiert sind die Grenzen und so gemeint?
Im ersten Schritt habe ich für x²y'+ay=e^(a/x) die Lösung der Homogenen Gleichung errechnet, dabei erhalte ich folgendes Ergebnis
y=k*e^(a/x) , wobei K meine Konstante ist
Anschließend habe ich K variiert
y=k(x)*e^(a/x) und dann die Ableitung gebildet y', dabei erhalte ich folgendes Ergebnis
[mm] y'=k'(x)*e^{a/x}-K(x)*e^{a/x}*a/x^2
[/mm]
Anschließend habe ich y' und y in meine Ursprüngliche DGL eingesetzt
[mm] x^2 [/mm] * [mm] (k'(x)*e^{a/x}-K(x)*e^{a/x}*a/x^2)+a(k(x)*e^{a/x})=e^{a/x} [/mm]
das ganze habe ich ausmultipliziert und gekürzt, so dass folgendes stehen blieb
x²*k'(x)*e^(a/x)=e^(a/x)
daraus folgt
k'(x)=x²
die habe ich wiederum integriert und habe erhalten
[mm] k(x)=x^3/x+C
[/mm]
Das ganze habe ich dann eingesetzt in y=k(x)*e^(a/x) und mein Ergebniss von
y=(x³/3+C)*e^(a/x) erhalten.
Ich habe die Gleichung auch bei Wolfram Alpha einmal durchlaufen lassen, bekomme da aber ein anderes Ergebnis ausgegeben. Weis jemand bei welchem Schritt ich einen Fehler gemacht habe? Ich hoffe man kann meine Rechnung verstehen ^^""
liebe Grüße
Teilwissen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die allgemeine und, sofern ein
> Anfangs-/Randbedingung angegeben ist, die pratikuläre
> Lösung folgender Differentialgleichung. Charakterisieren
> Sie die DGL's möglichst umfassend
>
> x²y'+ay=e^(a/x) wobei [mm]a\in \IR[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe in einer Übung folgende Aufgabenstellung
> bekommen, ich würde gerne wissen ob ich die Lösung der
> oben genannten DGL korrekt gerechnet habe. Desweiteren
> würde ich gerne wissen wie man eine DGL möglichst
> "umfangreich" charakterisiert sind die Grenzen und so
> gemeint?
>
> Im ersten Schritt habe ich für x²y'+ay=e^(a/x) die
> Lösung der Homogenen Gleichung errechnet, dabei erhalte
> ich folgendes Ergebnis
>
> y=k*e^(a/x) , wobei K meine Konstante ist
>
> Anschließend habe ich K variiert
>
> y=k(x)*e^(a/x) und dann die Ableitung gebildet y', dabei
> erhalte ich folgendes Ergebnis
>
>
> [mm]y'=k'(x)*e^{a/x}-K(x)*e^{a/x}*a/x^2[/mm]
>
>
> Anschließend habe ich y' und y in meine Ursprüngliche DGL
> eingesetzt
>
> [mm]x^2[/mm] *
> [mm](k'(x)*e^{a/x}-K(x)*e^{a/x}*a/x^2)+a(k(x)*e^{a/x})=e^{a/x}[/mm]
>
> das ganze habe ich ausmultipliziert und gekürzt, so dass
> folgendes stehen blieb
>
> x²*k'(x)*e^(a/x)=e^(a/x)
Bis hierher ist alles richtig.
>
> daraus folgt
>
> k'(x)=x²
Nein. Es folgt: [mm] k'(x)=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
FRED
>
> die habe ich wiederum integriert und habe erhalten
>
> [mm]k(x)=x^3/x+C[/mm]
>
> Das ganze habe ich dann eingesetzt in y=k(x)*e^(a/x) und
> mein Ergebniss von
>
>
> y=(x³/3+C)*e^(a/x) erhalten.
>
>
> Ich habe die Gleichung auch bei Wolfram Alpha einmal
> durchlaufen lassen, bekomme da aber ein anderes Ergebnis
> ausgegeben. Weis jemand bei welchem Schritt ich einen
> Fehler gemacht habe? Ich hoffe man kann meine Rechnung
> verstehen ^^""
>
> liebe Grüße
>
> Teilwissen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
>
>
>
>
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| Aufgabe | | Wie Charakterisiere ich die DGL's möglichst umfassend? |
Hi Fred,
vielen Dank für deine schnelle Antwort, jetzt komme ich auch auf die gleiche Lösung wie Wolfram Alpha
y(x)=c*e^(a/x)-e^(a/x)/x
Nur wie Charakterisiere ich diese Gleichung, was gehört alles dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Di 04.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Nur wie Charakterisiere ich diese Gleichung, was gehört alles dazu?
Ich schätze dazu gehört eine kleine "Kurvendiskussion".
Dabei hilft natürlich, dass [mm] \alpha [/mm] nur als Exponent
in der Exponentialfunktion vorkommt und folgendes gilt:
[mm] e^{x}>0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] - insbesondere für alle [mm] \alpha\in\IR
[/mm]
So ein bisschen kannst du sicher was darüber schreiben.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wie Charakterisiere ich die DGL's möglichst umfassend?
> Hi Fred,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort, jetzt komme ich
> auch auf die gleiche Lösung wie Wolfram Alpha
>
> y(x)=c*e^(a/x)-e^(a/x)/x
>
> Nur wie Charakterisiere ich diese Gleichung, was gehört
> alles dazu?
>
>
Sowas:
"Charakterisieren Sie die DGL's möglichst umfassend "
grenzt schon an Schwachsinn !
Das einzige, was mir einfällt ist:
obige DGL ist eine lineare inhomogene DGL 1. Ordnung.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Teilwissen |
Okay, vielen Dank für die Hilfestellung :D
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