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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Fr 16.10.2009 | | Autor: | nikinho |
| Aufgabe | Die Änderungsrate dP/dt einer Population von Fruchtfliegen:
dP/dt = 1/5 P - 1/5175 [mm] P^2
[/mm]
Anfänglich seien 10 Fruchtfliegen vorhanden. Zeigen Sie, dass die Population ständig wächst, aber niemals mehr als 1035 Mitglieder hat. Bei welcher Populationsgröße beginnt die Wachstumsrate abzunehmen? |
Hallo, mich beschäftigt noch eine Aufgabe vom ersten Übungsblatt DGL.
Soweit bin ich gekommen:
dP/dt = 1/5 P - 1/5175 [mm] P^2
[/mm]
5175 dP/dt * 1/(1035P - P²) = 1
Integrieren beider Seiten ergibt:
5ln(P) - 5 ln(p-1035) = t+c
umformen dann:
p/p-1035 = e^((t+c)/5)
wenn ich das nach P umforme erhalte ich:
P = -1035 e^((t+c)/5) / (1-e^((t+c)/5))
nochmal umgeformt:
P = 1035 / (1 - 1/ e^((t+c)/5))
wenn ich den limes nehme, kann ich auch zeigen, dass die Population nie größer als 1035 wird. Allerdings wenn ich P(0) nehme, was ja Zehn ist, liefert mir die Gleichung keine Lösung für c, da ich dann -e^(c/5) = 1/ 102,5 erhalte was ja nicht lösbar ist..
Joa, irgendwie wird n Fehler sein, aber ich finde ihn nicht. Wäre für Hilfe sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Fr 16.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Bitte benutze den Formeleditor, so ist das mühsam zu lesen.
> Die Änderungsrate dP/dt einer Population von
> Fruchtfliegen:
>
> dP/dt = 1/5 P - 1/5175 [mm]P^2[/mm]
>
> Anfänglich seien 10 Fruchtfliegen vorhanden. Zeigen Sie,
> dass die Population ständig wächst, aber niemals mehr als
> 1035 Mitglieder hat. Bei welcher Populationsgröße beginnt
> die Wachstumsrate abzunehmen?
> Hallo, mich beschäftigt noch eine Aufgabe vom ersten
> Übungsblatt DGL.
> Soweit bin ich gekommen:
>
> dP/dt = 1/5 P - 1/5175 [mm]P^2[/mm]
> 5175 dP/dt * 1/(1035P - P²) = 1
> Integrieren beider Seiten ergibt:
> 5ln(P) - 5 ln(p-1035) = t+c
Vorsicht! Wenn $p<1035$ ist, muss da
[mm] 5\ln P -5 \ln(1035-P) = t+c [/mm]
stehen!
> umformen dann:
> p/p-1035 = e^((t+c)/5)
>
> wenn ich das nach P umforme erhalte ich:
> P = -1035 e^((t+c)/5) / (1-e^((t+c)/5))
>
> nochmal umgeformt:
> P = 1035 / (1 - 1/ e^((t+c)/5))
>
> wenn ich den limes nehme, kann ich auch zeigen, dass die
> Population nie größer als 1035 wird. Allerdings wenn ich
> P(0) nehme, was ja Zehn ist, liefert mir die Gleichung
> keine Lösung für c, da ich dann -e^(c/5) = 1/ 102,5
> erhalte was ja nicht lösbar ist..
Siehe oben: jetzt steht da [mm] $e^{c/5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{102,5}.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 13.10.2011 | | Autor: | Pruckcy |
Hallo Rainer,
kannst du mir erklären wie man dadrauf kommt?
Irgendwie verstehe ich das nicht.
>
> Vorsicht! Wenn [mm]p<1035[/mm] ist, muss da
>
> [mm]5\ln P -5 \ln(1035-P) = t+c[/mm]
>
> stehen!
>
Danke dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Do 13.10.2011 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ich versuche einmal auf die Aufgaben des Übungszettels einzugehen - möglicherweise ist Dir damit geholfen:
Die DGL ist:
[mm] $\dot [/mm] P [mm] =\frac{1}{5}*P-\frac{1}{5175}*P^2 [/mm] $
[mm] $\dot [/mm] P [mm] =\frac{1}{5175}*P* [/mm] (1035-P) $
Die DGL des logistischen Wachstums hat also die Form
[mm] $\dot [/mm] P = r*P* (S-P) $
mit S = obere Schranke des Wachstums.
Hier S = 1035
Die Lösung der DGL ist:
$P(t) = [mm] \frac{A*S}{A+(S-A)*e^{-r*S*t}}$
[/mm]
mit A = Anfangspopulation bei t = 0.
Hier A = 10. r siehe oben.
Damit ist also
$P(t) = [mm] \frac{10350}{10+1025*e^{-0,5*t}}$
[/mm]
vollständig bestimmt.
Man kann P(t) auch mit [mm] \frac{1}{A} [/mm] erweitern, um auf die Form in den vorhergehenden posts zu kommen.
Der [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}P(t) [/mm] lässt sich einfach bestimmen.
Der Graph ist eine sigmoide Funktion, deren Steigung anfangs zunimmt um nach Erreichen des Wendepunkts wieder abzunehmen.
[mm] $\dot [/mm] P [mm] =\frac{1}{5}*P-\frac{1}{5175}*P^2 [/mm] $
[mm] $\frac{d^2P}{dt^2} =\frac{1}{5}*\dot [/mm] P [mm] -\frac{2}{5175}*P*\dot [/mm] P =0 $
Der Wendepunkt liegt also bei P = 517,5 .
LG, Martinius
Edit: Fehler berichtigt in 2. Ableitung.
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Hallo Pruckcy,
> Hallo Rainer,
> kannst du mir erklären wie man dadrauf kommt?
> Irgendwie verstehe ich das nicht.
Hier wurden zunächst die Variablen P und t getrennt,
d.h. P und t auf jeweils eine andere Seite gebracht,
bekannt auch unter ![[]](/images/popup.gif) Trennung der Veränderlichen.
Siehe dazu auch diesen Post.
> >
> > Vorsicht! Wenn [mm]p<1035[/mm] ist, muss da
> >
> > [mm]5\ln P -5 \ln(1035-P) = t+c[/mm]
> >
> > stehen!
> >
>
> Danke dir!
>
Gruss
MathePower
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