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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Olek |
| Aufgabe | Lösen sie das AWP
[mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}=\vektor{y_{2}*y_{3} \\ -y_{1}*y_{3} \\ 2}, \vec{y}(0)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] |
Hi,
irgendwie steh ich auf dem Schlauch:
Ich hab bereits [mm] y_{3}=2*x [/mm] raus, und hab das System auf 2 Gleichungen reduziert. Anschließend hab ich die Vektoren mit [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} } [/mm] multipliziert, so dass
[mm] y_{1}'*y_{1}+y_{2}'*y_{2}=0
[/mm]
rauskommt.
Und nun? Habs nach [mm] y_{1}'*y_{1}=-y_{2}'*y_{2} [/mm] aufgelöst,
dann zu [mm] y_{1}dy_{1}=-y_{2}dy_{2} [/mm] umgeformt.
Aber dann bekomme ich nur eine Lösung, in der [mm] y_1 [/mm] von [mm] y_2 [/mm] abhängt. Und ich hab das Gefühl das soll so nicht sein.
Kann mir jemand helfen? Dankesehr!
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Hallo Olek,
> Lösen sie das AWP
> [mm]\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}=\vektor{y_{2}*y_{3} \\ -y_{1}*y_{3} \\ 2}, \vec{y}(0)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Hi,
> irgendwie steh ich auf dem Schlauch:
> Ich hab bereits [mm]y_{3}=2*x[/mm] raus, und hab das System auf 2
> Gleichungen reduziert. Anschließend hab ich die Vektoren
> mit [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2} }[/mm] multipliziert, so dass
> [mm]y_{1}'*y_{1}+y_{2}'*y_{2}=0[/mm]
> rauskommt.
> Und nun? Habs nach [mm]y_{1}'*y_{1}=-y_{2}'*y_{2}[/mm] aufgelöst,
> dann zu [mm]y_{1}dy_{1}=-y_{2}dy_{2}[/mm] umgeformt.
> Aber dann bekomme ich nur eine Lösung, in der [mm]y_1[/mm] von [mm]y_2[/mm]
> abhängt. Und ich hab das Gefühl das soll so nicht sein.
> Kann mir jemand helfen? Dankesehr!
Führe zunächst eine geeignete Substitution ein,
um das DGL-System
[mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2}}' =\pmat{2*x*y_{2} \\ -2*x*y_{1}}[/mm]
auf ein System mit einer konstanten Matrix zurückzuführen.
Dann ergibt sich dieses System:
[mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2}}' =\pmat{y_{2} \\ -y_{1}}=\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}\pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
Ist u(x) die Substitution, dann ist hier [mm]\pmat{y_{1} \\y_{2}}=\pmat{y_{1} \left(u\right)\\y_{2}\left(u\right)}[/mm]
Löse nun dieses System.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Olek |
Hm,
ich sehe leider noch nicht, in wieweit mir das weiterhilft. Wenn du mir ein Schlagwort geben könntest, womit man das löst, dann könnte ich vielleicht mithilfe meiner Literatur daran weiterarbeiten. Gerade finde ich darin leider nichts vergleichbares.
Danke,
Olek
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Hallo Olek,
> Hm,
> ich sehe leider noch nicht, in wieweit mir das
> weiterhilft. Wenn du mir ein Schlagwort geben könntest,
> womit man das löst, dann könnte ich vielleicht mithilfe
> meiner Literatur daran weiterarbeiten. Gerade finde ich
> darin leider nichts vergleichbares.
Das DGL-System
[mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2}}' =A*\pmat{y_{1} \\y_{2}}[/mm]
, wobei A eine konstante Matrix ist, wird durch die
Bestimmung der Eigenwerte mit den zugehörigen
Eigenvektoren gelöst.
> Danke,
> Olek
Gruss
MathePower
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