DGL Ord. 2 Variation d. Konst. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Sa 04.10.2008 | | Autor: | McApe |
| Aufgabe | | Man erläutere die Methode der Variation der Konstanten am Beispiel der folgenen linearen DGL. [mm] y''+3y'+2y=(1+e^t)^{-1} [/mm] |
Hallo, ich lerne gerade Mathe und weis leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Ich habe den homogenen Ansatz:
[mm] y_h=c_1*e^{-t}+c_2*e^{-2t}
[/mm]
Die Ableitungen davon sind ja:
[mm] y_h'=c_1'^*e^{-t}-c_1*e^{-t}+c_2'*e^{-2t}-2c_2*e^{-2t}
[/mm]
[mm] y_h''=c_1''*e^{-t}-2c_1'*e^{-t}+c_1*e^{-t}+c_2''*e^{-2t}-4c_2'*e^{-2t}+4c_2*e^{-2t}
[/mm]
Ich war der Meinung das ich alles nun in die Ausgangsgleichung einsetzen muss und dann nach c1,c2 auflösen muss. Allerdings hab ich keine Ahnung wie ich das mit c1''/c1' usw. mache. Vermutlich ist mein Ansatz falsch?
Wie lautet die korrekte allgemeine Lösung dieser DGL?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus,
Gruß Andy
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Hallo McApe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man erläutere die Methode der Variation der Konstanten am
> Beispiel der folgenen linearen DGL.
> [mm]y''+3y'+2y=(1+e^t)^{-1}[/mm]
> Hallo, ich lerne gerade Mathe und weis leider nicht wie
> ich diese Aufgabe lösen soll.
>
> Ich habe den homogenen Ansatz:
> [mm]y_h=c_1*e^{-t}+c_2*e^{-2t}[/mm]
>
> Die Ableitungen davon sind ja:
> [mm]y_h'=c_1'^*e^{-t}-c_1*e^{-t}+c_2'*e^{-2t}-2c_2*e^{-2t}[/mm]
>
> [mm]y_h''=c_1''*e^{-t}-2c_1'*e^{-t}+c_1*e^{-t}+c_2''*e^{-2t}-4c_2'*e^{-2t}+4c_2*e^{-2t}[/mm]
>
> Ich war der Meinung das ich alles nun in die
> Ausgangsgleichung einsetzen muss und dann nach c1,c2
> auflösen muss. Allerdings hab ich keine Ahnung wie ich das
> mit c1''/c1' usw. mache. Vermutlich ist mein Ansatz
> falsch?
Der Ansatz ist schon richtig.
>
> Wie lautet die korrekte allgemeine Lösung dieser DGL?
>
Wie Du diese DGL mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten löst,
findest Du hier:
![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank im Voraus,
> Gruß Andy
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 05.10.2008 | | Autor: | McApe |
> Wie Du diese DGL mit Hilfe der Methode der Variation der
> Konstanten löst,
> findest Du hier:
>
> Variation der Konstanten für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
>
Hi,
entschuldigung dass ich erst jetzt Antworte, ich habe lange versucht die Hilfestellung auf dieser Seite zu Interpretieren, aber verstanden hab ich leider nicht wie ich nun weiter verfahre.
Vor allem den zweiten Schritt verstehe ich nicht, was sind dabei a(t) und b(t)?
Vielleicht kann mir jemand ein Beispiel geben, womit ich den Weg der auf der Seite beschrieben ist besser verstehe?
Gruß Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 So 05.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 2 lin unabhaengigen Loesungen u(t), v(t) sind in deinem Fall [mm] e^{-t} [/mm] und [mm] e^{-2t}
[/mm]
deine Konstanten c1(t) und c2(t) heissen in dem link a(t) und b(t)
du musst also nur so mit deiner Dgl vorgehen, wie das im link beschrieben ist.
die wichtige Idee dabei ist:Wählt man nun $ a, b$ so, dass $ [mm] a^\prime [/mm] v+ [mm] b^\prime [/mm] w=0 $ gilt, dann folgt....
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 05.10.2008 | | Autor: | McApe |
> Hallo
> die 2 lin unabhaengigen Loesungen u(t), v(t) sind in
> deinem Fall [mm]e^{-t}[/mm] und [mm]e^{-2t}[/mm]
> deine Konstanten c1(t) und c2(t) heissen in dem link a(t)
> und b(t)
> du musst also nur so mit deiner Dgl vorgehen, wie das im
> link beschrieben ist.
> die wichtige Idee dabei ist:Wählt man nun [mm]a, b[/mm] so, dass
> [mm]a^\prime v+ b^\prime w=0[/mm] gilt, dann folgt....
> Gruss leduart
Also folgere ich mal:
v sei [mm]e^-^t[/mm], [mm]v'=-e^-^t[/mm], [mm]v''=e^-^t[/mm]
w sei [mm]e^-^2^t[/mm], [mm]w'=-2e^-^2^t[/mm], [mm]w''=4e^-^2^t)[/mm]
[mm] c_1 [/mm] sei a
[mm] c_2 [/mm] sei b
[mm]a''v+2a'v'+av''+3(a'v+av')+2av+b''w+2b'w'+bw''+3(b'w+bw')+2bw=(1+e^t)^-^1[/mm]
Sieht nach der Formel aus dem Link aus.
Also sind die Lösungen dann folgendes?
[mm]a'=fw/(vw'-wv')[/mm]
[mm]b'=fv/(vw'-wv')[/mm]
=>
[mm] c_1'=-e^t/(1+e^t) [/mm] => [mm] c_1=-ln(1+e^t)
[/mm]
[mm] c_2'=-e^2^t/(1+e^t) [/mm] => [mm] c_2=-e^t+ln(1+e^t)
[/mm]
Das setz ich jetzt in den Ansatz ein und bin dann fertig?
Gruß Andy
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Hallo McApe,
> > Hallo
> > die 2 lin unabhaengigen Loesungen u(t), v(t) sind in
> > deinem Fall [mm]e^{-t}[/mm] und [mm]e^{-2t}[/mm]
> > deine Konstanten c1(t) und c2(t) heissen in dem link
> a(t)
> > und b(t)
> > du musst also nur so mit deiner Dgl vorgehen, wie das
> im
> > link beschrieben ist.
> > die wichtige Idee dabei ist:Wählt man nun [mm]a, b[/mm] so, dass
> > [mm]a^\prime v+ b^\prime w=0[/mm] gilt, dann folgt....
> > Gruss leduart
>
> Also folgere ich mal:
>
> v sei [mm]e^-^t[/mm], [mm]v'=-e^-^t[/mm], [mm]v''=e^-^t[/mm]
> w sei [mm]e^-^2^t[/mm], [mm]w'=-2e^-^2^t[/mm], [mm]w''=4e^-^2^t)[/mm]
> [mm]c_1[/mm] sei a
> [mm]c_2[/mm] sei b
>
> [mm]a''v+2a'v'+av''+3(a'v+av')+2av+b''w+2b'w'+bw''+3(b'w+bw')+2bw=(1+e^t)^-^1[/mm]
>
> Sieht nach der Formel aus dem Link aus.
>
> Also sind die Lösungen dann folgendes?
> [mm]a'=fw/(vw'-wv')[/mm]
> [mm]b'=fv/(vw'-wv')[/mm]
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]a'=\red{-}fw/(vw'-wv')[/mm]
[mm]b'=fv/(vw'-wv')[/mm]
> =>
> [mm]c_1'=-e^t/(1+e^t)[/mm] => [mm]c_1=-ln(1+e^t)[/mm]
> [mm]c_2'=-e^2^t/(1+e^t)[/mm] => [mm]c_2=-e^t+ln(1+e^t)[/mm]
Vergiß hier die Integrationskonstanten nicht.
[mm]c_{1}'=e^t/(1+e^t) \Rightarrow c_{1}\left(t\right)=ln(1+e^t)+k_{1}[/mm]
[mm]c_{2}'=-e^2^t/(1+e^t) \Rightarrow c_{2}\left(t\right)=-e^t+ln(1+e^t)+k_{2}[/mm]
> Das setz ich jetzt in den Ansatz ein und bin dann fertig?
Ja.
>
> Gruß Andy
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 05.10.2008 | | Autor: | McApe |
Ohh vielen Dank, jetzt habe ich das auch endlich verstanden :)
Gruß Andy
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