DGL, Lösungsverfahren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hallo
mir liegt im Moment folgendes vor, aber ich werde überhaupt nicht schlau daraus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also Ziel soll ja sein TdV anzuwenden. D.h. Es sollte irgendwie sowas rauskommen: y' = g(x)h(y).
Ich muss ehrlich sagen ich verstehe den ganzen Ansatz nicht.
Man setzt u(x) auf den inneren Teil von f und leitet das ab. Einfach so?
u'(x) = a + b y'(x)
Na gut für y' kann man jetz wieder einsetztn
u'(x) = a + b (f(ax + by(x) + c)) oder eben
u'(x) = a + b(f(u(x))
Aber ich seh gar nicht was das alles soll?
Ich habe das Gefühl man will U(x) berechnen und das dann damit lösen, aber
U(x) = [mm] \integral{a + f(u)} [/mm] kann man ja auch nicht einfach errechenen?
Also der Schlüssel zu der Sache scheint mir irgendwie zu sein,
dass die Ableitung von u wieder als irgendwas von u geschrieben werden kann.
Beim Bsp wird meiner Ansicht nach folgendes gemacht.
u' = 1 + [mm] u^2
[/mm]
[mm] \integral \frac{u(x)'}{1+u(x)^2} [/mm] = [mm] \integral{1}dt
[/mm]
t = u (x) ergibt dann
atan(t) = x + c
t = tan (x + c)
Da man jetzt u kennt müsste man doch das wieder oben einsetzten, denn wir haben ja zu beginn gesagt
u(x) = ax + by(x) + c und y'= f(u)
D.h.
y'(x) = f( tan(x + c) ) und davon die Stammfunktion berechenen, da das f ja in konkreten Fällen bekannt ist.
Im Bsp würde das bedueten:
y'(x) = [mm] (tan(x+c))^2
[/mm]
Aber was dort rauskommt sieht nicht wie
[mm] \integral{(tan(x+c))^2} [/mm] aus. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Help i need somebody, help not just anybody, help, would you please please help me? ;)
Grüße Mumrel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Ah ok, der Schluss meiner Bsp-interpretation ist falsch.
In dem Bsp ist ja
y'(x) = (x + [mm] y(x))^2
[/mm]
also a=1 b=1 c=0
und u(x) = x + y(x)
Nachdem wir dann wissen, dass u(x) = tan(x+c) ist ist y(x) natürlich
y(x) = tan(x + c) -x, soweit ok.
Hat mir jemand noch eine andere Beispielaufgabe dazu oder vielleicht ein Namen wie man das Verfahren nennt?
Dank und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Sa 25.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mumrel,
> Also der Schlüssel zu der Sache scheint mir irgendwie zu sein,
> dass die Ableitung von u wieder als irgendwas von u
> geschrieben werden kann.
Nicht ganz: der Schlüssel ist, dass durch diese Transformation x nicht mehr explizit vorkommt und damit die Variablen getrennt werden können. Dann hast du
[mm]u'(x) = a+bf(u) \quad \implies \bruch{u'}{a+bf(u)} = 1 \implies \integral \bruch{du}{a+bf(u)} = x+C [/mm].
> Beim Bsp wird meiner Ansicht nach folgendes gemacht.
>
> u' = 1 + [mm]u^2[/mm]
>
> [mm]\integral \frac{u(x)'}{1+u(x)^2}[/mm] = [mm]\integral{1}dt[/mm]
> t = u (x) ergibt dann
> atan(t) = x + c
> t = tan (x + c)
>
> Da man jetzt u kennt müsste man doch das wieder oben
> einsetzten, denn wir haben ja zu beginn gesagt
> u(x) = ax + by(x) + c und y'= f(u)
>
> D.h.
> y'(x) = f( tan(x + c) ) und davon die Stammfunktion
> berechenen, da das f ja in konkreten Fällen bekannt ist.
Das ist zwar richtig, aber zu kompliziert gedacht. Nimm die erste Gleichung:
[mm]u(x) = x + y(x) \Leftrightarrow y(x) = u(x) - x = tan(x+c ) -x [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
| Aufgabe | Ok, ich habe mir mal selbst zur Aufgabe gestellt folgendes zu lösen:
y'(x) = [mm] \sqrt{2x+8y(x)+1} [/mm] |
u(x) = 2x + 8y(x) + 1
u'(x) = 8y(x)' + 2
u'(x) = 8 [mm] \sqrt{u(x)} [/mm] + 2
Damit gewinnen wir den TdV Ansatz:
[mm] \frac{u'(x)}{8 \sqrt{u(x)} + 2} [/mm] = 1
Integrieren:
[mm]
\integral {\frac{u'(x)}{8 \sqrt{u(x)} + 2} dx = x + c
[/mm]
[mm]
t = \sqrt{u(x)}
[/mm]
[mm] \frac{dt}{dx} [/mm] = - [mm] \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} [/mm]
[mm]
\implies du = -\frac{2 \sqrt{u(x)}}{u'(x)} bzw.
[/mm]
[mm]
\implies du = -\frac{2t}{u'(x)} bzw.
[/mm]
Substituieren
[mm] -\integral {\frac{2t}{8t+2} dt} [/mm] = x + c
Ok, da könnte man jetzt ne PBZ oder partiell integrieren.
Mir gehts nicht ums integrieren sondern um die DGL jetzt daher neheme ich die Lösung von integrator.com und zwar in einer faschen bzw. vereinfachten Form.
Die Stammfunktion sei
- 2log(7u + 2)+ 7u + 2
und damit
- 2log(7t + 2)+ 7t + 2 = x + c
und nach Rücksubstitution
- [mm] 2log(7\sqrt{u} [/mm] + 2)+ [mm] 7\sqrt{u} [/mm] + 2 = x + c
Ich sehe aber jetzt leider nicht wie ich diese Gleichung auf die Schnelle nach u auflöse, denn wenn ich den Log "weg mache" hab ich ein [mm] e^{...} [/mm] drin und anderstrum. Ich muss ja hier irgendwie zum ausklmmern kommen, oder anderweitig zusammenfassen.
Ist die Rechnung soweit ok? Gehts hier so auf diesem Wege nicht mehr weiter oder war die Substitution vielleicht nicht geeignet genug?
Danke für die Hilfe Rainer ;)
Grüße Mumrel
P.S. Wie kann man einen Zeilenubruch in den Formeln erreichen
\\ ging schon mal nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 25.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mumrel,
> [mm]-\integral {\frac{2t}{8t+2} dt} = x + c[/mm]
Das scheint mir richtig, es kommt heraus:
[mm]-\bruch{t}{4}+\bruch{1}{16}\ln(4t+1) = x +c [/mm].
> Ich sehe aber jetzt leider nicht wie ich diese Gleichung
> auf die Schnelle nach u auflöse,
Richtig, du hast eine Lösung, aber du kannst sie nicht durch eine einfache Funktion ausdrücken. Ist halt so.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Ok, danke für die Rückmeldung ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße
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