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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Di 24.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | | Geben Sie die Lösung des AWP y'=4-2y, y(0)=1 an. |
Hallo, ich bräuchte mal wieder Eure Hilfe.
Ich möchte das mittels Tdv lösen. Dann steht da:
[mm] \bruch{dy}{dx}=4-2y \to \bruch{dy}{4-2y}=dx. [/mm] Das dann integrieren und ich komme auf: [mm] -\bruch{1}{2}ln(4-2y)=x+c_{1}. [/mm] Das dann weiter umformen und ich komme auf: [mm] y=2-\bruch{1}{2}Ce^{-2x}. [/mm] Das stimmt aber nicht mit meiner Lösung überein.
Wo liegt mein Fehler? Danke!
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Hallo,
vorneweg: du gehst ein wenig ungeschickt vor.
> Ich möchte das mittels Tdv lösen. Dann steht da:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=4-2y \to \bruch{dy}{4-2y}=dx.[/mm]
Hier würde ich bereits den Faktor 2 auf der rechten Seite stehen lassen, ein Fehler liegt aber nicht vor.
> Das dann integrieren und ich komme auf:
> [mm]-\bruch{1}{2}ln(4-2y)=x+c_{1}.[/mm]
Das ist natürlich so nicht richtig. Entweder verwendet man hier Betragsklammern im Logarithmus, oder man macht eine Fallunterscheidung. Aber so kappst du streng genommen den Definitionsbereich deiner Lösung!
> Das dann weiter umformen und
> ich komme auf: [mm]y=2-\bruch{1}{2}Ce^{-2x}.[/mm] Das stimmt aber
> nicht mit meiner Lösung überein.
>
> Wo liegt mein Fehler? Danke!
Es ist im Prinzip alles richtig. Ich bin anders vorgegangen:
[mm]y'=4-2y[/mm]
[mm] \bruch{dy}{2-y}=2dx
[/mm]
[mm] -ln|2-y|=2x+c_1
[/mm]
[mm] 2-y=e^{-2x}*e^{-c_1}
[/mm]
[mm] C=e^{-c_1} [/mm] führt schließlich auf:
[mm] y=2-C*e^{-2x}
[/mm]
Das bedeutet, unsere Versionen unterscheiden sich nur um ein vielfaches der Integrationskonstante. Und da man diese eh frei wählen kann bzw. hier durch Eisetzen des AWP besimmt, sind sie gleichwertig. Mit deiner Musterlösung wird es sich genauso verhalten.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Di 24.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Das ist verständlich, vielen Dank!
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