DGL Homogene+Partikuläre Lsg < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Di 20.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Habe eine Frage , die ich mir selbst ausgedacht habe (ich bin gut, hm?)
Also, kommt es eigentlich darauf an, ob man bei einer inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zuerst die Homogene oder zuerst die Partikuläre Lösung bestimmt?
Ein Beispiel:
y' - y = [mm] e^{t}, [/mm] mit [mm] e^{t} [/mm] als Ingomogenität
Die Homogene Lösung wird bestimmt durch:
[mm] \lambda [/mm] - 1 = 0
---> [mm] y_{homo} [/mm] = [mm] c*e^{t} [/mm]
Jetzt der Ansatz der partikullären Lösung wäre ja [mm] A*e^{t}
[/mm]
Das in die DGL einsetzen und A bestimmen...
---> [mm] y_{part} [/mm] = ...
Die Lösung ergibt ja die Überlagerung der beiden. Jetzt haben ja beide e Funktionen den Gleichen Exponenten. Muss ich jetzt also weil in der homogenen Lösung der Gleiche Exponent wie in der Partikulären Lösung vorkommt, für die Parikuläre Lösung einen anderen Ansatz nehmen?! z.B. [mm] A*t*e^{t}, [/mm] ...?
Weil wenn man ja bei der Berechnung der homogenen Lösung n ähnliche e-Funktionen erhält, muss man ja ein Polynom n-ter Ordnung dranmultiplizieren. Wie sieht es zwischen Partikulärer und Homogener Lösung aus? Ist es da auch der Fall, oder egal?
Thx, Qsxqsx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Di 20.07.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo qsxqsx,
> Hallo,
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> Habe eine Frage , die ich mir selbst ausgedacht habe (ich
> bin gut, hm?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das iat gut!
> Also, kommt es eigentlich darauf an, ob man bei einer
> inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstanten
> Koeffizienten zuerst die Homogene oder zuerst die
> Partikuläre Lösung bestimmt?
nein - das spielt, sofern es überhaupt eine Lösungsfunktion gibt, keine Rolle.
> Ein Beispiel:
> y' - y = [mm]e^{t},[/mm] mit [mm]e^{t}[/mm] als Ingomogenität
>
> Die Homogene Lösung wird bestimmt durch:
> [mm]\lambda[/mm] - 1 = 0
> ---> [mm]y_{homo}[/mm] = [mm]c*e^{t}[/mm]
>
> Jetzt der Ansatz der partikullären Lösung wäre ja
> [mm]A*e^{t}[/mm]
nein, der Ansatz für eine lineare DGL der Form [mm] y'+ay=Ae^{bt} [/mm] lautet [mm] y=K*t*e^{bt} [/mm] <-- wenn, wie in deinem Fall b=-a
(sonst stimmt [mm] y=K*e^{bt} [/mm] -- Anm. d. R.)
> Das in die DGL einsetzen und A bestimmen...
> ---> [mm]y_{part}[/mm] = ...
>
> Die Lösung ergibt ja die Überlagerung der beiden. Jetzt
> haben ja beide e Funktionen den Gleichen Exponenten. Muss
> ich jetzt also weil in der homogenen Lösung der Gleiche
> Exponent wie in der Partikulären Lösung vorkommt, für
> die Parikuläre Lösung einen anderen Ansatz nehmen?! z.B.
> [mm]A*t*e^{t},[/mm] ...?
ja, das wäre korrekt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Weil wenn man ja bei der Berechnung der homogenen Lösung n
> ähnliche e-Funktionen erhält, muss man ja ein Polynom
> n-ter Ordnung dranmultiplizieren. Wie sieht es zwischen
> Partikulärer und Homogener Lösung aus? Ist es da auch der
> Fall, oder egal?
das ist auch hier so.
LG
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Di 20.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi Herby,
Danke !
EDIT: ...aber sag mal, wenn man zuerst die Partikuläre bestimmt, weiss man ja noch gar nicht welchen Ansatz, weil man ja eben [mm] A*t*e^{t} [/mm] nehmen muss, was aus der homogenen ersichtlich wird. Also immer zuerst die Homogene Lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Di 20.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
...also ich würd das jetzt gerne doch nochmal bestätigt oder nicht bestätigt haben. Ist meine Überlegung nun falsch oder nicht?
Was ich jetzt sicher weiss, ist, dass eben auch die partikuläre Lösung linear unabhängig von den Homogenen Lösungen sein soll. Aber demfall wäre es doch nicht egal, wenn man zuerst(!) die partikuläre bestimmen würde?
...Qsxqsx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:08 Mi 21.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ne partikuläre lösung vorher findest ist die Reihenfolge egal. wenn du aber hier [mm] A*e^t [/mm] in die dgl einsetzt kommt [mm] 0=e^t [/mm] raus, also war das eben keine part. Lösung.Dann musst du ne andere finden.Partikuläre lösungen musst du doch immer durch einsetzen bestätigen?
Also deine Vermutung, dass die Reihenfolge egal ist ist richtig.
Dein Vorgehen hat eben nur keine part. lösung gefunden, weil du ne lösg der hom. angesetzt hast, die ja 0 ergibt und eben keine rechte Seite.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:17 Mi 21.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Noch am arbeiten, was?!
Also ich bin ein bisschen verwirrt wegen dem Satz:
"Also deine Vermutung, dass die Reihenfolge egal ist ist richtig. "
Ich habe die Vermutung gehabt, dass die Reihenfolge nicht egal ist. Hast du also den Satz so schreiben wollen:
"Also deine Vermutung, dass die Reihenfolge egal ist nicht richtig. " oder hast du meine Vermutung anders interpretiert?;)
Ist jetzt die Reihenfolge egal, oder nicht?
Abend!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Mi 21.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Okay, jetzt ist es klar.
Ich hab das eigentlich schon im Griff, aber wollte hald mal wissen, ob es drauf ankommt ob man zuerst die partikuläre bestimmt oder nacher wegen der linearen Unabhängikeit...
Qsxqsx
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![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]"){kind=small}
