DGL 2ter Ordnung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Do 24.06.2010 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Man löse die folgende spezielle DGL zweiter Ordnung durch Zurückführen auf eine DGL erster Ordnung:
y'' - y' - 2y = 0 |
Hallo!
Folgend meine Rechnung:
y'' - y' - 2y = 0
Es kommt kein x vor, also y' = p
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = p
[mm] \bruch{d^2y}{dx^2} [/mm] = [mm] \bruch{dp}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dp}{dy} \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] p
Nun in die Ausgangsgleichung substituieren:
y'' - y' - 2y = 0
[mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] p - p - 2y = 0
[mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] - 1 - 2y/p = 0
[mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] - 2y/p = 1
Ist also eine inhomogene DGL erster Ordnung
also zuerst die homogene lösung suchen
[mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] - 2y/p = 0
[mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] = 2y/p
p dp = 2y dy
[mm] \bruch{p^2}{2} [/mm] = [mm] y^2 [/mm] + [mm] C_1
[/mm]
[mm] p^2 [/mm] = [mm] 2y^2 [/mm] + [mm] C_2
[/mm]
p = [mm] \wurzel{2y^2 + C_2}
[/mm]
nun ist p' interessant - Variation der Konstanten
p = [mm] \wurzel{2y^2 + C(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dy} \wurzel{2y^2 + C(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{4y + C'(x)}{2 \wurzel{2y^2 + C(x)}} [/mm]
einsetzen in die inhomogene Gleichung
[mm] \bruch{dp}{dy} [/mm] - 2y/p = 1
[mm] \bruch{4y + C'(x)}{2 \wurzel{2y^2 + C(x)}} [/mm] - [mm] \bruch{2y}{\wurzel{2y^2 + C(x)}} [/mm] = 1
[mm] \bruch{4y + C'(x)}{2 \wurzel{2y^2 + C(x)}} [/mm] - [mm] \bruch{4}{2 \wurzel{2y^2 + C(x)}} [/mm] = 1
[mm] \bruch{C'(x)}{\wurzel{2y^2 + C(x)}}= [/mm] 2
so nun hab ich hier aber ein problem... ich müsste ja C'(x) integrieren um damit auf die Lösung der inhomogenen Gleichung zu kommen...
ich steh hier ehrlich gesagt etwas an..
als nächstes muss ich dann die lösung von p nehmen
integrieren
rücksubstituieren
wieder integrieren und nach y auflösen...
falls ich das ganze richtig verstanden habe.. keine unkomplizierte aufgabe, wenn ich das richtig verstanden habe.
vielen dank für jeden tipp!
lg
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Hallo,
> Man löse die folgende spezielle DGL zweiter Ordnung durch
> Zurückführen auf eine DGL erster Ordnung:
> y'' - y' - 2y = 0
> Hallo!
>
> Folgend meine Rechnung:
>
> y'' - y' - 2y = 0
> Es kommt kein x vor, also y' = p
Das funktioniert so nicht ! Du hast eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten koeffizienten. Die ist zu lösen indem du das char. polynom bestimmst, hier [mm] \lambda^2-\lambda-2=0 [/mm] mit den Lösungen [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] . dann ist die Lösung der DGL gegeben durch
[mm] y(x)=Ae^{\lambda_1 x}+Be^{\lambda_2 x}
[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = p
> [mm]\bruch{d^2y}{dx^2}[/mm] = [mm]\bruch{dp}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{dp}{dy} \bruch{dy}{dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] p
>
>
> Nun in die Ausgangsgleichung substituieren:
> y'' - y' - 2y = 0
> [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] p - p - 2y = 0
> [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] - 1 - 2y/p = 0
> [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] - 2y/p = 1
> Ist also eine inhomogene DGL erster Ordnung
> also zuerst die homogene lösung suchen
>
> [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] - 2y/p = 0
> [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] = 2y/p
> p dp = 2y dy
> [mm]\bruch{p^2}{2}[/mm] = [mm]y^2[/mm] + [mm]C_1[/mm]
> [mm]p^2[/mm] = [mm]2y^2[/mm] + [mm]C_2[/mm]
> p = [mm]\wurzel{2y^2 + C_2}[/mm]
> nun ist p' interessant -
> Variation der Konstanten
> p = [mm]\wurzel{2y^2 + C(x)}[/mm]
> [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dy} \wurzel{2y^2 + C(x)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] = [mm]\bruch{4y + C'(x)}{2 \wurzel{2y^2 + C(x)}}[/mm]
> einsetzen in die inhomogene Gleichung
>
> [mm]\bruch{dp}{dy}[/mm] - 2y/p = 1
> [mm]\bruch{4y + C'(x)}{2 \wurzel{2y^2 + C(x)}}[/mm] -
> [mm]\bruch{2y}{\wurzel{2y^2 + C(x)}}[/mm] = 1
> [mm]\bruch{4y + C'(x)}{2 \wurzel{2y^2 + C(x)}}[/mm] - [mm]\bruch{4}{2 \wurzel{2y^2 + C(x)}}[/mm]
> = 1
> [mm]\bruch{C'(x)}{\wurzel{2y^2 + C(x)}}=[/mm] 2
> so nun hab ich hier aber ein problem... ich müsste ja
> C'(x) integrieren um damit auf die Lösung der inhomogenen
> Gleichung zu kommen...
>
> ich steh hier ehrlich gesagt etwas an..
>
> als nächstes muss ich dann die lösung von p nehmen
> integrieren
> rücksubstituieren
> wieder integrieren und nach y auflösen...
>
> falls ich das ganze richtig verstanden habe.. keine
> unkomplizierte aufgabe, wenn ich das richtig verstanden
> habe.
>
> vielen dank für jeden tipp!
>
> lg
>
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Fr 25.06.2010 | | Autor: | babapapa |
Oha danke!
Das hatte ich wirklich übersehen!
Ich idiot hab das wirklich übersehen - danke nochmal
lg
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