DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Mi 19.09.2012 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
DGL 2. Ordnung:
[mm] x^{2}y'' [/mm] - 5xy' + 10y = [mm] 2x^{3} [/mm] + 5x
Ich habe folgendes getan: Substituiert: x = [mm] e^{t}
[/mm]
u = y(x)
u' = x*y'(x)
u'' = xy'(x) + [mm] x^{2}y''(x)
[/mm]
u'' - xy' - 5xy' + 10u = 0
u'' - 6u' + 10u = 0
[mm] u_{1,2} [/mm] = 3 [mm] \pm \wurzel{-1} [/mm] = 3 [mm] \pm [/mm] i
[mm] y_{h}(x) [/mm] = [mm] e^{3x}cos(x) [/mm] + [mm] e^{3x}sin(x)
[/mm]
Hat jemand dagegen was einzuwenden?
Dann weiter zur partikulären Lösung. Da weiß ich nicht, welchen Ansatz ich nehmen soll.
[mm] y_{p}= Ce^{x} [/mm] + [mm] De^{x} [/mm] ???
Vielen Dank im Voraus
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 19.09.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo,
>
> DGL 2. Ordnung:
>
> [mm]x^{2}y''[/mm] - 5xy' + 10y = [mm]2x^{3}[/mm] + 5x
>
> Ich habe folgendes getan: Substituiert: x = [mm]e^{t}[/mm]
Du musst hier aufpassen. Denn bei Rücksubstitution erhälst du: $t = ln(x)$, d.h. du musst die Fälle $x<0$ und $x>0$ unterscheiden, es sei denn es ist (meistens ist das bei den Aufgaben so) $x>0$ vorausgesetzt. Also bei $x<0$ musst du $x = [mm] -e^t$ [/mm] substituieren und dann genauso weiter.
> u = y(x)
> u' = x*y'(x)
> u'' = xy'(x) + [mm]x^{2}y''(x)[/mm]
Also hier würde ich der Übersichtlichkeit halber immer [mm] y(e^t) [/mm] schreiben. Denn unten kommst du durcheinander...
> u'' - xy' - 5xy' + 10u = 0
> u'' - 6u' + 10u = 0
> [mm]u_{1,2}[/mm] = 3 [mm]\pm \wurzel{-1}[/mm] = 3 [mm]\pm[/mm] i
>
> [mm]y_{h}(x)[/mm] = [mm]e^{3x}cos(x)[/mm] + [mm]e^{3x}sin(x)[/mm]
Das ist jetzt eben falsch. Es ist $u: [mm] \IR \to \IR$; [/mm] $t [mm] \mapsto e^{3t}cos(t) [/mm] + [mm] e^{3t}sin(t)$ [/mm] Lösung von $u'' - 6u' + 10u = 0$.
Nun musst du rücksubstituieren: $ t = ln(x)$. ($x>0$)
Dann erhälst du eine Lösung $y: [mm] ]0,\infty[ \to \IR$
[/mm]
> Dann weiter zur partikulären Lösung. Da weiß ich nicht,
> welchen Ansatz ich nehmen soll.
Betrachte einfach die rechte Seite einzeln. Polynomansatz liefert dir das Ergebnis.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mi 19.09.2012 | | Autor: | sardelka |
Ja, das mit den t´s und x´s bringe ich immer durcheinander. Muss da aufpassen.
Habe die Lösung aber raus. Vielen vielen Dank
|
|
|
|
