DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 So 06.11.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die DGL
y''+y'-12y=0
a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung dieser DGL.
b) Welche Funktion y löst diese DGL und besitzt die Anfangswerte y(0)=1 und y'(0)=2? |
Also ich hab die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
a)
Lösung mit Exponentialansatz:
[mm] y(x)=e^{\lambda*x}, y'(x)=\lambda*e^{\lambda*x} [/mm] und [mm] y''(x)=\lambda^2*e^{\lambda*x}
[/mm]
das heißt:
[mm] \lambda^2*e^{\lambda*x}+\lambda*e^{\lambda*x}-12*e^{\lambda*x}=0
[/mm]
[mm] e^{\lambda*x}(\lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] -12)=0
da [mm] e^{\lambda*x} \not= [/mm] 0 für alle x:
[mm] 0=\lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] -12
mit pq-Formel:
[mm] \lambda_{1/2}=-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+12}=-\bruch{1}{2} \pm \bruch{7}{2} [/mm] und das heißt:
[mm] \lambda_{1}=3 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-4 [/mm]
also ist die allgemeine Lösung:
y(x)= [mm] c_{1}*e^{3x} [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-4x} [/mm] mit [mm] c_{1}, c_{2} \in \IR
[/mm]
b)
y'(x)= [mm] 3*c_{1}*e^{3x} -4*c_{2}*e^{-4x}
[/mm]
beide AW's eingesetzt ergibt das Gleichungssystem:
[mm] 1=c_{1}+c_{2}
[/mm]
[mm] 2=3c_{1}-4c_{2} [/mm] und man erhält für [mm] c_{1}=\bruch{6}{7} [/mm] und für [mm] c_{2}=\bruch{1}{7}
[/mm]
also löst die Funktion
y(x)=y(x)= [mm] \bruch{6}{7}*e^{3x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7}*e^{-4x} [/mm] das AWP.
Wollt nur mal fragen, ob das so richtig ist.
Gruß David
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Hallo David90,
> Gegeben ist die DGL
> y''+y'-12y=0
> a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung dieser DGL.
> b) Welche Funktion y löst diese DGL und besitzt die
> Anfangswerte y(0)=1 und y'(0)=2?
> Also ich hab die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
> a)
> Lösung mit Exponentialansatz:
> [mm]y(x)=e^{\lambda*x}, y'(x)=\lambda*e^{\lambda*x}[/mm] und
> [mm]y''(x)=\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm]
> das heißt:
>
> [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}+\lambda*e^{\lambda*x}-12*e^{\lambda*x}=0[/mm]
> [mm]e^{\lambda*x}(\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] -12)=0
> da [mm]e^{\lambda*x} \not=[/mm] 0 für alle x:
> [mm]0=\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] -12
> mit pq-Formel:
> [mm]\lambda_{1/2}=-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+12}=-\bruch{1}{2} \pm \bruch{7}{2}[/mm]
> und das heißt:
> [mm]\lambda_{1}=3[/mm] und [mm]\lambda_{2}=-4[/mm]
> also ist die allgemeine Lösung:
> y(x)= [mm]c_{1}*e^{3x}[/mm] + [mm]c_{2}*e^{-4x}[/mm] mit [mm]c_{1}, c_{2} \in \IR[/mm]
>
> b)
> y'(x)= [mm]3*c_{1}*e^{3x} -4*c_{2}*e^{-4x}[/mm]
> beide AW's
> eingesetzt ergibt das Gleichungssystem:
> [mm]1=c_{1}+c_{2}[/mm]
> [mm]2=3c_{1}-4c_{2}[/mm] und man erhält für [mm]c_{1}=\bruch{6}{7}[/mm]
> und für [mm]c_{2}=\bruch{1}{7}[/mm]
> also löst die Funktion
> y(x)=y(x)= [mm]\bruch{6}{7}*e^{3x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{7}*e^{-4x}[/mm] das
> AWP.
> Wollt nur mal fragen, ob das so richtig ist.
Das ist so richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß David
Gruss
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