DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die spezielle Lösung der DGL:
[mm] y''-3y'+2y=e^x
[/mm]
zu den Anfangsbedingungen y(0)=1 und y'(0)=-1 |
Bitte um Korrektur und Kontrolle, falls Fehler. Dankeschöön.
Das hab ich gemacht:
Lösung der Homogenen:
y''-3y'+2y=0
[mm] k^{2}-3k+2=0
[/mm]
k1=2
k2=1
[mm] y_{h}= C1*e^{2x}+C2*e^{x}
[/mm]
Lösen Störfunktion [mm] S(x)=e^x
[/mm]
Liegt Resonanz vor!
[mm] S(x)=e^x=R_{0}(x)*e^x [/mm] , mit ß=1 (einfache Nullstelle (n=1))
[mm] yp=x*B_{0}(x)*e^x=b_{0}*x*e^x
[/mm]
[mm] yp'=b_{0}*e^{x}+b_{0}*x*e^x
[/mm]
[mm] yp''=b_{0}*e^{x}+e^{x}+b_{0}*e^{x}+b_{0}*x*e^x
[/mm]
Einstzen in die inhomogene:
[mm] 1*b_{0}*e^{x}+1*e^{x}+1*b_{0}*e^{x}+1*b_{0}*x*e^{x}-3*b_{0}*e^{x}-3*b_{0}*x*e^{x}+2*b_{0}*x*e^{x}=1*e^x
[/mm]
die ganze gleichung durch [mm] e^x
[/mm]
[mm] 2*b_{0}+3*b_{0}*x-3*b_{0}-3*b_{0}*x+1=1
[/mm]
[mm] -1b_{0}+1=1 [/mm] => [mm] b_{0}=-2
[/mm]
[mm] yp=-2*x*e^x
[/mm]
[mm] y_{allg.}= C1*e^{2x}+C2*e^{x}-2x*e^{x}
[/mm]
[mm] y_{allg.}= C1*e^{2x}+e^{x}*(C2-2x)
[/mm]
Zu den Anfangsbedingungen:
y(0)=1
1=C1+C2
y'(0)=-1
-1=2C1-2
C1= 0,5
Einsetzen in die Erste:
1=0,5+C2
C2=0,5
[mm] y_{spezial}=0,5*e^{2x}+e^{x}*(0,5-2x)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die spezielle Lösung der DGL:
>
> [mm]y''-3y'+2y=e^x[/mm]
>
> zu den Anfangsbedingungen y(0)=1 und y'(0)=-1
> Bitte um Korrektur und Kontrolle, falls Fehler.
> Dankeschöön.
>
> Das hab ich gemacht:
>
> Lösung der Homogenen:
> y''-3y'+2y=0
> [mm]k^{2}-3k+2=0[/mm]
> k1=2
> k2=1
>
> [mm]y_{h}= C1*e^{2x}+C2*e^{x}[/mm]
>
> Lösen Störfunktion [mm]S(x)=e^x[/mm]
> Liegt Resonanz vor!
> [mm]S(x)=e^x=R_{0}(x)*e^x[/mm] , mit ß=1 (einfache Nullstelle
> (n=1))
>
> [mm]yp=x*B_{0}(x)*e^x=b_{0}*x*e^x[/mm]
> [mm]yp'=b_{0}*e^{x}+b_{0}*x*e^x[/mm]
> [mm]yp''=b_{0}*e^{x}+e^{x}+b_{0}*e^{x}+b_{0}*x*e^x[/mm]
Da ist ein Fehler. Wo kommt der Summand [mm] e^{x} [/mm] her ? der hat da nichts zu suchen !
>
> Einstzen in die inhomogene:
>
> [mm]1*b_{0}*e^{x}+1*e^{x}+1*b_{0}*e^{x}+1*b_{0}*x*e^{x}-3*b_{0}*e^{x}-3*b_{0}*x*e^{x}+2*b_{0}*x*e^{x}=1*e^x[/mm]
>
> die ganze gleichung durch [mm]e^x[/mm]
>
> [mm]2*b_{0}+3*b_{0}*x-3*b_{0}-3*b_{0}*x+1=1[/mm]
>
> [mm]-1b_{0}+1=1[/mm] => [mm]b_{0}=-2[/mm]
>
> [mm]yp=-2*x*e^x[/mm]
Ich komme auf [mm]y_p=-x*e^x[/mm]
FRED
>
> [mm]y_{allg.}= C1*e^{2x}+C2*e^{x}-2x*e^{x}[/mm]
> [mm]y_{allg.}= C1*e^{2x}+e^{x}*(C2-2x)[/mm]
>
> Zu den Anfangsbedingungen:
> y(0)=1
> 1=C1+C2
>
> y'(0)=-1
> -1=2C1-2
>
> C1= 0,5
>
> Einsetzen in die Erste:
>
> 1=0,5+C2
> C2=0,5
>
> [mm]y_{spezial}=0,5*e^{2x}+e^{x}*(0,5-2x)[/mm]
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du meinst den bei:
[mm] yp''=b_{0}\cdot{}e^{x}+e^{x}+b_{0}\cdot{}e^{x}+b_{0}\cdot{}x\cdot{}e^x
[/mm]
den hab ich von der ableitung von yp', sprich vom ersten teil [mm] b_{0}*e^x [/mm] abgeleitet.
das müsste doch [mm] b_{0}*e^{x}+e^x [/mm] werden, oder hab ich mich da vertan und das bleibt nur [mm] b_{0}*e^x [/mm] ? weil dann würde das [mm] e^x [/mm] wegfallen und ich komm auf dein ergebnis.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> du meinst den bei:
>
> [mm]yp''=b_{0}\cdot{}e^{x}+e^{x}+b_{0}\cdot{}e^{x}+b_{0}\cdot{}x\cdot{}e^x[/mm]
>
> den hab ich von der ableitung von yp', sprich vom ersten
> teil [mm]b_{0}*e^x[/mm] abgeleitet.
>
> das müsste doch [mm]b_{0}*e^{x}+e^x[/mm] werden, oder hab ich mich
> da vertan und das bleibt nur [mm]b_{0}*e^x[/mm] ?
Ja. $(cf(x))'= cf'(x)$
FRED
> weil dann würde
> das [mm]e^x[/mm] wegfallen und ich komm auf dein ergebnis.
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ok. dann wird C1=0 und C2=1
so wird [mm] y_{spez.}= e^{x}*(1-x)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok. dann wird C1=0 und C2=1
>
> so wird [mm]y_{spez.}= e^{x}*(1-x)[/mm]
Da hast Du dich verrechnet. Deine Lösung erfüllt nicht die Bed. y'(0)=-1
FRED
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oh man, ich verrenn mich da immermehr. kann es sein das die lösung dann:
[mm] ys=-3*e^{2x}+4*e^{x}-x*e^x [/mm] ist?
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Hallo haxenpeter,
> oh man, ich verrenn mich da immermehr. kann es sein das die
> lösung dann:
>
> [mm]ys=-3*e^{2x}+4*e^{x}-x*e^x[/mm] ist?
Hier ist aber [mm] $y'(0)=-3\neq [/mm] -1$
Das passt also auch noch nicht ...
Gruß
schachuzipus
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oh man o man.
[mm] y_{allg}= C1*e^{2x}+C2*e^{x}-x*e^x
[/mm]
[mm] y'_{allg.}=2C1*e^{2x}+C2*e^{x}-((1+x)e^{x})
[/mm]
oder ist das auch falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> oh man o man.
>
> [mm]y_{allg}= C1*e^{2x}+C2*e^{x}-x*e^x[/mm]
>
> [mm]y'_{allg.}=2C1*e^{2x}+C2*e^{x}-((1+x)e^{x})[/mm]
>
> oder ist das auch falsch?
Nein, es stimmt.
FRED
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so, jetzt müsst ichs aber haben:
c1=-1, c2=2
[mm] ys=-1*e^{2x}+2*e^{x}-x*e^x
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> so, jetzt müsst ichs aber haben:
>
> c1=-1, c2=2
>
> [mm]ys=-1*e^{2x}+2*e^{x}-x*e^x[/mm]
Jetzt stimmts !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mo 19.07.2010 | | Autor: | haxenpeter |
gut, endlich...
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