DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo n0000b,
> Bestimmen Sie die Lösungen des Anfangswertproblems
> [mm]y''(x) + 4y'(x) + a*y(x) = 0[/mm] , [mm]\ y(0) = 0[/mm] , [mm]y'(0) = 2[/mm]
> für
> a = 3 , a = 4 und a = 5
> Lösen Sie die Anfangswertaufgabe
> [mm]y''- 2y' + 2y = ( \cos x + 2\sin x ) e^x[/mm] , [mm]y(0) = 0[/mm] ,
> [mm]y'(0) = -\bruch{1}{2}[/mm]
> So jetzt komt nach den Aufgaben der
> 1. Ordung die der 2.Ordnung 
>
> Also meines Wissens muss man da mit der "charakteristischen
> Gleichung" ran:
>
> [mm]\lambda^2+2a_{1}\lambda+a_{0}=0[/mm]
Genau so ist es.
Hier handelt es sich um die DGL
[mm]y''+2*a_{1}*y'+a_{0}*y=0[/mm]
>
> Pls Help
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 28.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ja, nur wie muss ich das jetzt anwenden?
In etwa so?
[mm] $\lambda^2+4\lambda+3=0 [/mm] $
[mm] $\lambda_{1,2}=-2\pm\wurzel{16-12}$
[/mm]
[mm] $\lambda_{1}=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_{2}=-4$
[/mm]
[mm] $y(x)=c_{2}e^{-4x}$
[/mm]
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Hallo n0000b,
> Ja, nur wie muss ich das jetzt anwenden?
>
> In etwa so?
>
> [mm]\lambda^2+4\lambda+3=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2}=-2\pm\wurzel{16-12}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-4[/mm]
>
> [mm]y(x)=c_{2}e^{-4x}[/mm]
Die quadratischche Gleichung
[mm]\lamda_{2}+2*a_{1}\lambda+a_{2}=0[/mm]
besitzt zwei Lösungen [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/mm]
Gilt [mm]\lambda_{1} \not= \lambda_{2}[/mm], dann sind Lösungen der DGL
[mm]y''+2*a_{1}*y'+a_{2}*y=0[/mm]
[mm]y\left(x\right)=C_{1}*e^{\lambda_{1}x}+C_{2}*e^{\lambda_{2}x}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 30.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok, dann müsste es:
$ [mm] y(x)=c_{1}+c_{2}e^{-4x} [/mm] $
bei der ersten Aufgabe und a=3, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann müsste es:
>
> [mm]y(x)=c_{1}+c_{2}e^{-4x}[/mm]
>
> bei der ersten Aufgabe und a=3, oder?
Ich weiß nicht, was Du oben gerechnet hast, aber die Gleichung
$ [mm] \lambda^2+4\lambda+3=0 [/mm] $ hat die Lösungen [mm] \lambda_1 [/mm] = -3, und [mm] \lambda_2 [/mm] = -1
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 30.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Jep, sry. Zu blöd um die pq-Formel abzuschreiben Hätte ich ja auch an meinen Ergebnissen sehen müssen, dass das nicht stimmt :-(
Also Ergebnis:
$ [mm] y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{-3x}+C_{2}\cdot{}e^{-x} [/mm] $
Wie muss ich jetzt vorgehen um [mm] $C_{1}$ [/mm] und [mm] $C_{2}$ [/mm] zu berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Jep, sry. Zu blöd um die pq-Formel abzuschreiben
> Hätte ich ja auch an meinen Ergebnissen sehen müssen,
> dass das nicht stimmt :-(
>
> Also Ergebnis:
>
> [mm]y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{-3x}+C_{2}\cdot{}e^{-x}[/mm]
>
> Wie muss ich jetzt vorgehen um [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] zu
> berechnen?
Du hast doch
$ \ y(0) = 0 $ , $ \ y'(0) = 2 $
Aus $ \ y(0) = 0 $ folgt
[mm] $C_1+C_2 [/mm] = 0$
Berechne nun $ \ y' $ . Wegen $ \ y'(0) = 2 $ bekommst Du eine 2. Gleichung für [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Di 30.06.2009 | | Autor: | n0000b |
[mm] $y'(x)=-3C_{1}e^{-3x}-C_{2}e^{-x}=2$
[/mm]
Ok, dann bekomme ich [mm] $C_{1}=1$ [/mm] , [mm] $C_{2}=-1$.
[/mm]
$ [mm] y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{-3x}+C_{2}\cdot{}e^{-x} [/mm] $
$ [mm] y\left(x\right)=e^{-3x}-e^{-x} [/mm] $
Stimmt das?
$ y''- 2y' + 2y = ( [mm] \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^x [/mm] $
Da müsste man erst mal das homogene [mm] y_{hom} [/mm] lösen, oder?
also: $ y''- 2y' + 2y = 0$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y'(x)=-3C_{1}e^{-3x}-C_{2}e^{-x}=2[/mm]
>
> Ok, dann bekomme ich [mm]C_{1}=1[/mm] , [mm]C_{2}=-1[/mm].
Ich bekomme: [mm]C_{1}=-1[/mm] , [mm]C_{2}=1[/mm].
>
> [mm]y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{-3x}+C_{2}\cdot{}e^{-x}[/mm]
>
> [mm]y\left(x\right)=e^{-3x}-e^{-x}[/mm]
>
> Stimmt das?
S.o.
>
> [mm]y''- 2y' + 2y = ( \cos x + 2\sin x ) e^x[/mm]
>
> Da müsste man erst mal das homogene [mm]y_{hom}[/mm] lösen, oder?
Genau
FRED
>
> also: [mm]y''- 2y' + 2y = 0[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 30.06.2009 | | Autor: | n0000b |
OMG. Ich hasse miene Flüchtigkeitsfehler.
Ja, es kommt $ [mm] C_{1}=-1 [/mm] $ und $ [mm] C_{2}=1 [/mm] $ raus. Also
$ [mm] y\left(x\right)=e^{-x} -e^{-3x} [/mm] $
$ y''- 2y' + 2y = 0 $
$ [mm] \lambda^2-2\lambda+2=0 [/mm] $
$ [mm] \lambda_{1,2}=-\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{(-2)^2-8}$
[/mm]
$ [mm] \lambda_{1,2}=1\pm\wurzel{-4}$
[/mm]
$ [mm] \lambda_{1}=\alpha+i\beta, \lambda_{2}=\overline{\lambda_{1}}, \beta\not=0\Rightarrow y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos\beta x\Rightarrow y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin\beta [/mm] x$
$ [mm] y\left(x\right)=e^{x}\cos\beta x+e^{x}\sin\beta [/mm] x $
Was ist jetzt [mm] $\beta$ [/mm] ?
Ist das $2i$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> OMG. Ich hasse miene Flüchtigkeitsfehler.
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> Ja, es kommt [mm]C_{1}=-1[/mm] und [mm]C_{2}=1[/mm] raus. Also
>
> [mm]y\left(x\right)=e^{-x} -e^{-3x}[/mm]
>
>
> [mm]y''- 2y' + 2y = 0[/mm]
>
> [mm]\lambda^2-2\lambda+2=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2}=-\bruch{-2}{2}\pm\wurzel{(-2)^2-8}[/mm]
Mit der pq-Formel stehst Du aber mächtig auf Kriegsfuß !
richtig wäre:
[mm]\lambda_{1,2}=1\pm\wurzel{1-2} = 1 \pm i[/mm]
FRED
>
> [mm]\lambda_{1,2}=1\pm\wurzel{-4}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}=\alpha+i\beta, \lambda_{2}=\overline{\lambda_{1}}, \beta\not=0\Rightarrow y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos\beta x\Rightarrow y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin\beta x[/mm]
>
> [mm]y\left(x\right)=e^{x}\cos\beta x+e^{x}\sin\beta x[/mm]
>
> Was ist jetzt [mm]\beta[/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 30.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Na, ich hoffe ich belustige euch wenigstens mit meiner Dummheit.
Ich vergesse jedesmal das [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] vor der Wurzel.
dann kommt als Ergebnis natürlich $\ i$ raus.
Nun das Ergebnis: $ [mm] y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin [/mm] x $
Wie geht es nun weiter? Auch erst wieder [mm] $C_{1}$ [/mm] und [mm] $C_{2}$ [/mm] berechnen?
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Hallo n0000b,
> Na, ich hoffe ich belustige euch wenigstens mit meiner
> Dummheit.
>
> Ich vergesse jedesmal das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] vor der Wurzel.
>
> dann kommt als Ergebnis natürlich [mm]\ i[/mm] raus.
>
> Nun das Ergebnis:
> [mm]y\left(x\right)=C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin x[/mm]
>
> Wie geht es nun weiter? Auch erst wieder [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm]
> berechnen?
Jetzt mußt Du erst einen Ansatz zur
Bestimmung der partikulären Lösung finden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mi 01.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok, jetzt kommt das wo ich am wenigsten Ahnung davon habe. Ich habe mich jetzt mal versucht einzulesen und hätte jetzt vorgeschlagen [mm] $e^{cx}$ [/mm] als Störfunktion zu benutzen.
$\ c=1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] c ist eine einfache Lösung.
Lösungsansatz: [mm] $y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x}$
[/mm]
Ist dieser Ansatz so richtig?
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Hallo n0000b,
> Ok, jetzt kommt das wo ich am wenigsten Ahnung davon habe.
> Ich habe mich jetzt mal versucht einzulesen und hätte
> jetzt vorgeschlagen [mm]e^{cx}[/mm] als Störfunktion zu benutzen.
>
> [mm]\ c=1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] c ist eine einfache Lösung.
>
> Lösungsansatz: [mm]y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x}[/mm]
>
> Ist dieser Ansatz so richtig?
Ja, wenn [mm]e^{x}[/mm] Lösung der homogenen DGL ist.
Ist die Störfunktion oder ein Teil von ihr
zugleich Lösung der homogenen DGL,
so ist der Ansatz mit "x" zu multiplizieren.
Also genau so, wie Du es gemacht hast.
Wenn die charakteristische Gleichung der DGL,
eine doppelte Lösung besitzt, und die Störfunktion ist
auch zugleich ein Teil von der homogenen Lösung,
so ist hier der Ansatz mit "[mm]x^{2}[/mm] zu multiplizieren.
In diesem Fall lautet dann der Ansatz: [mm]y_{p}=B*x^{2}*e^{x}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 01.07.2009 | | Autor: | n0000b |
$ [mm] y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x} [/mm] $
Bestimmung der Konstanten A:
$ [mm] y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x} [/mm] $, $ [mm] y'_{p}=(A+Ax)\cdot{}e^{x} [/mm] $, $ [mm] y''_{p}=(2A+Ax)\cdot{}e^{x} [/mm] $
[mm] $(2A+Ax)\cdot{}e^{x}-2(A+Ax)\cdot{}e^{x}+2\cdot{}A\cdot{}x\cdot{}e^{x}=( \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^x$ [/mm] $ [mm] |:e^x$
[/mm]
[mm] $2A+Ax-2A-2Ax+2Ax=\cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x $
[mm] $Ax=\cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x $
[mm] $A=\bruch{\cos x + 2\sin x}{x} [/mm] $
Stimmt das bis hier hin?
Wenn ja, dann müsste ich doch nur noch [mm] $y(x)=y_{hom}+y_{p}$ [/mm] rechnen, oder?
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Hallo n0000b,
> [mm]y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x}[/mm]
>
> Bestimmung der Konstanten A:
>
> [mm]y_{p}=A\cdot{}x\cdot{}e^{x} [/mm], [mm]y'_{p}=(A+Ax)\cdot{}e^{x} [/mm],
> [mm]y''_{p}=(2A+Ax)\cdot{}e^{x}[/mm]
>
> [mm](2A+Ax)\cdot{}e^{x}-2(A+Ax)\cdot{}e^{x}+2\cdot{}A\cdot{}x\cdot{}e^{x}=( \cos x + 2\sin x ) e^x[/mm]
> [mm]|:e^x[/mm]
>
>
> [mm]2A+Ax-2A-2Ax+2Ax=\cos x + 2\sin x[/mm]
>
> [mm]Ax=\cos x + 2\sin x[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{\cos x + 2\sin x}{x}[/mm]
>
> Stimmt das bis hier hin?
Das ist der falsche Ansatz.
Der richtige Ansatz muß hier lauten:
[mm]y_{p}\left(x\right)=Ax*e^{x}*\sin\left(x\right)+Bx*e^{x}*\cos\left(x\right)[/mm]
>
> Wenn ja, dann müsste ich doch nur noch [mm]y(x)=y_{hom}+y_{p}[/mm]
> rechnen, oder?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Do 02.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok,
dann bekomme ich folgendes:
$ [mm] y_{p}\left(x\right)=e^x\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right) [/mm] $
$ [mm] y'_{p}\left(x\right)=e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))$
[/mm]
$ [mm] y''_{p}\left(x\right)=2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))$
[/mm]
$2 [mm] e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))$
[/mm]
[mm] $-2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))$
[/mm]
$ [mm] +2e^{x}\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=( \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^{x} [/mm] $
Ist das jetzt so richtig und muss ich das dann nach A u. B auflösen?
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Hallo n0000b,
> Ok,
>
> dann bekomme ich folgendes:
>
> [mm]y_{p}\left(x\right)=e^x\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)[/mm]
>
> [mm]y'_{p}\left(x\right)=e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))[/mm]
>
>
> [mm]y''_{p}\left(x\right)=2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>
> [mm]2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>
> [mm]-2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))[/mm]
>
> [mm]+2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))=( \cos x + 2\sin x ) e^{x}[/mm]
Hier muß es doch so lauten:
[mm]+2e^{x}\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=( \cos x + 2\sin x ) e^{x}[/mm]
>
> Ist das jetzt so richtig und muss ich das dann nach A u. B
> auflösen?
Jetzt machst Du einen Koeffizientenvergleich, das heißt
Du vergleichst links und rechts die Koeffizienten, die vor
[mm]x*\sin\left(x\right), \ x*\cos\left(x\right), \ \sin\left(x\right), \ \cos\left(x\right)[/mm] stehen miteinander.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 02.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Aber erst mal durch [mm] $e^x$ [/mm] teilen und etwas ausmultiplizieren?
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Hallo n0000b,
> Aber erst mal durch [mm]e^x[/mm] teilen und etwas ausmultiplizieren?
Durch [mm]e^{x}[/mm] kannst Du teilen,
anschließend mußt Du dann die Gleichung
noch ein bischen sortieren.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Fr 03.07.2009 | | Autor: | n0000b |
$2 [mm] e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))$
[/mm]
[mm] $-2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))$
[/mm]
$ [mm] +2e^{x}\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=( \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^{x} [/mm] $
[mm] $(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))$
[/mm]
[mm] $+(-A\cdot{}\sin(x)-Ax\cdot{}\sin(x)-Ax\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\sin(x)-B\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\cos(x))$
[/mm]
$ [mm] +\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2} [/mm] $
$ [mm] +\left(A\cdot{}\cos (x) - B\cdot{}\sin (x) - Ax\cdot{}\sin (x) - Bx\cos (x) \right)
[/mm]
$ [mm] +\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2} [/mm] $
[mm] $A\cdot{}\cos [/mm] (x) - [mm] B\cdot{}\sin (x)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2}$
[/mm]
[mm] $2A\cdot{}\cos [/mm] (x) - [mm] 2B\cdot{}\sin (x)=\cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x$
Koeffizientenvergleich:
[mm] $2A\cdot{}\cos(x)=\cos(x)$
[/mm]
$- [mm] 2B\cdot{}\sin (x)=2\sin(x)$
[/mm]
[mm] $A=\bruch{1}{2}$
[/mm]
$B=-1$
Stimmt das bis dahin?
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Hallo n0000b,
> [mm]2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
Die "2" steht hier nur bei den Termen mit [mm]x*e^{x}[/mm]:
[mm]e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+\red{2}*Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-\red{2}*Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>
> [mm]-2e^{x}(A\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\sin(x)+Ax\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\sin(x)+B\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\cos(x))[/mm]
>
> [mm]+2e^{x}\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=( \cos x + 2\sin x ) e^{x}[/mm]
>
>
> [mm](A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>
> [mm]+(-A\cdot{}\sin(x)-Ax\cdot{}\sin(x)-Ax\cdot{}\cos(x)+Bx\cdot{}\sin(x)-B\cdot{}\cos(x)-Bx\cdot{}\cos(x))[/mm]
>
> [mm]+\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2} [/mm]
>
> $ [mm]+\left(A\cdot{}\cos (x) - B\cdot{}\sin (x) - Ax\cdot{}\sin (x) - Bx\cos (x) \right)[/mm]
>
> [mm]+\left(Ax\cdot{}\sin\left(x\right)+Bx\cdot{}\cos\left(x\right)\right)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2} [/mm]
>
> [mm]A\cdot{}\cos (x) - B\cdot{}\sin (x)=\bruch{( \cos x + 2\sin x )}{2}[/mm]
>
> [mm]2A\cdot{}\cos (x) - 2B\cdot{}\sin (x)=\cos x + 2\sin x[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich:
>
> [mm]2A\cdot{}\cos(x)=\cos(x)[/mm]
> [mm]- 2B\cdot{}\sin (x)=2\sin(x)[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]B=-1[/mm]
>
>
> Stimmt das bis dahin?
Siehe oben.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Fr 03.07.2009 | | Autor: | n0000b |
> Hallo n0000b,
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> > [mm]2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>
>
> Die "2" steht hier nur bei den Termen mit [mm]x*e^{x}[/mm]:
>
> [mm]e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+\red{2}*Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-\red{2}*Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
Warum? Es heißt doch: $ y''- 2y' + 2y = ( [mm] \cos [/mm] x + [mm] 2\sin [/mm] x ) [mm] e^x [/mm] $
und $y''(x)=2 [mm] e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)) [/mm] $ ?
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Hallo n0000b,
> > Hallo n0000b,
> >
> > > [mm]2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>
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> >
> > Die "2" steht hier nur bei den Termen mit [mm]x*e^{x}[/mm]:
> >
> >
> [mm]e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+\red{2}*Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-\red{2}*Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
>
> Warum? Es heißt doch: [mm]y''- 2y' + 2y = ( \cos x + 2\sin x ) e^x[/mm]
>
> und [mm]y''(x)=2 e^{x}(A\cdot{}sin(x)+A\cdot{}cos(x)+Ax\cdot{}cos(x)-B\cdot{}sin(x)-Bx\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x))[/mm]
> ?
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Ich muß mich korrigieren, Deine Berechnungen stimmen soweit.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Fr 03.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Hallo,
also dann kann ich die Lösung ja jetzt zusammen setzen:
$ [mm] y_{p}\left(x\right)=\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right) [/mm] $
$ [mm] y_{hom}=C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin [/mm] x $
[mm] $y=y_{hom}+y_{p}= C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin [/mm] x [mm] +\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)$
[/mm]
Jetzt werde ich noch [mm] $C_{1}$ [/mm] u. [mm] $C_{2}$ [/mm] bestimmen müssen mit $\ y(0) = 0 $, $ y'(0) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $, oder?
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Hallo n0000b,
> Hallo,
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> also dann kann ich die Lösung ja jetzt zusammen setzen:
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> [mm]y_{p}\left(x\right)=\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)[/mm]
>
> [mm]y_{hom}=C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin x[/mm]
>
> [mm]y=y_{hom}+y_{p}= C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin x +\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)[/mm]
>
> Jetzt werde ich noch [mm]C_{1}[/mm] u. [mm]C_{2}[/mm] bestimmen müssen mit [mm]\ y(0) = 0 [/mm],
> [mm]y'(0) = -\bruch{1}{2} [/mm], oder?
So ist es.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Fr 03.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Hallo,
[mm] $C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin [/mm] x [mm] +\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)=0$
[/mm]
[mm] $-\bruch{1}{2} e^x [/mm] (sin(x) (2 [mm] C_{1}-2 C_{2}-2 [/mm] x-1)+cos(x) (-2 [mm] C_{1}-2 C_{2}+2 x+1))=-\bruch{1}{2}$
[/mm]
$ \ y(0) = 0 $, $ y'(0) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $
[mm] $C_{1}=0$
[/mm]
$-2 [mm] C_{1}-2 C_{2}+1=1$
[/mm]
[mm] $C_{1}=0$
[/mm]
[mm] $C_{2}=0$
[/mm]
$ [mm] y=\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right) [/mm] $
Stimmt das?
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Hallo n0000b,
> Hallo,
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> [mm]C_{1}\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos x+C_{2}\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin x +\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)=0[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{2} e^x (sin(x) (2 C_{1}-2 C_{2}-2 x-1)+cos(x) (-2 C_{1}-2 C_{2}+2 x+1))=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\ y(0) = 0 [/mm], [mm]y'(0) = -\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]C_{1}=0[/mm]
> [mm]-2 C_{1}-2 C_{2}+1=1[/mm]
>
> [mm]C_{1}=0[/mm]
> [mm]C_{2}=0[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{1}{2}x\cdot{}e^{x}\cdot{}\sin\left(x\right)-x\cdot{}e^{x}\cdot{}\cos\left(x\right)[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Fr 03.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Vielen Dank für Eure Hilfe.
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