DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 18.12.2013 | | Autor: | Madabaa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der DGl
[mm] y^{''}+4y=e^{-x}*cos(2x)
[/mm]
mit Hilfe eines Ansatzes vom "Typ der rechten Seite ".
Fassen Sie dazu die rechte Seite der DGL als Realteil einer komplexen Exponentialfunktion auf. |
Hallo,
Ich habe Probleme die rechte Seite zu einer komplexen Exponentialfunktion
aufzufassen.
Meine Idee war:
[mm] e^{2ix}=cos(2x)+i*sin(2x)
[/mm]
[mm] e^{-x}*e^{2ix}=e^{1-2i}=e^{x}*(cos(2x)-i*sin(2x))
[/mm]
Gruß
Madabaa
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Hallo Madabaa,
> Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der DGl
> [mm]y^{''}+4y=e^{-x}*cos(2x)[/mm]
>
> mit Hilfe eines Ansatzes vom "Typ der rechten Seite ".
> Fassen Sie dazu die rechte Seite der DGL als Realteil
> einer komplexen Exponentialfunktion auf.
> Hallo,
>
> Ich habe Probleme die rechte Seite zu einer komplexen
> Exponentialfunktion
Die rechte Seite ist doch der Realteil von [mm]e^{-x+2*i*x}[/mm]
Damit lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung: [mm]A*e^{-x+2*i*x}, \ A \in \IC[/mm]
> aufzufassen.
>
> Meine Idee war:
> [mm]e^{2ix}=cos(2x)+i*sin(2x)[/mm]
>
> [mm]e^{-x}*e^{2ix}=e^{1-2i}=e^{x}*(cos(2x)-i*sin(2x))[/mm]
>
> Gruß
> Madabaa
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Do 19.12.2013 | | Autor: | Madabaa |
Hallo,
Danke Mathepower für deine Antwort.
Ich habe noch Probleme mit der Aufgabe und zwar finde ich den Fehler nicht, ich glaube es fehlt irgendswo die exponentialfunktion aber ich weiß nicht an welcher Stelle.
Homogene Gleichung:
[mm] y_{h}(x)=C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x)
[/mm]
[mm] e^{-x}\cdot{}e^{2ix}= e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}
[/mm]
Komplexifizierung der DGL:
[mm] w^{''}+4w=e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}
[/mm]
Ansatz vom Typ der rechten Seite:
[mm] w(x)=k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}
[/mm]
[mm] w^{'}(x)=(-1+2i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}
[/mm]
[mm] w^{''}(x)=(-3-4i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (1-4i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} =e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow k=\bruch{1}{1-4i}=\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i
[/mm]
[mm] y_{p}(x)=Re(w(x))
[/mm]
[mm] Re(\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i)*(cos(2x)+i*sin(2x))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{17}cos(2x)-\bruch{4}{17}sin(2x)
[/mm]
Allgemeine Lösung:
[mm] \bruch{1}{17}cos(2x)-\bruch{4}{17}sin(2x)+C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x)
[/mm]
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Hallo Madabaa,
> Hallo,
>
> Danke Mathepower für deine Antwort.
> Ich habe noch Probleme mit der Aufgabe und zwar finde ich
> den Fehler nicht, ich glaube es fehlt irgendswo die
> exponentialfunktion aber ich weiß nicht an welcher
> Stelle.
>
> Homogene Gleichung:
> [mm]y_{h}(x)=C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x)[/mm]
>
> [mm]e^{-x}\cdot{}e^{2ix}= e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>
> Komplexifizierung der DGL:
> [mm]w^{''}+4w=e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>
> Ansatz vom Typ der rechten Seite:
> [mm]w(x)=k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
> [mm]w^{'}(x)=(-1+2i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
> [mm]w^{''}(x)=(-3-4i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (1-4i)*k\cdot{}e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x} =e^{-x+2\cdot{}i\cdot{}x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow k=\bruch{1}{1-4i}=\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i[/mm]
>
> [mm]y_{p}(x)=Re(w(x))[/mm]
>
> [mm]Re(\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i)*(cos(2x)+i*sin(2x))[/mm]
>
An dieser Stelle fehlt noch die Exponentialfunktion:
[mm]y_{p}(x)=Re(\bruch{1}{17}+\bruch{4}{17}i)*(cos(2x)+i*sin(2x))*\blue{e^{-x}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{17}cos(2x)-\bruch{4}{17}sin(2x)[/mm]
>
> Allgemeine Lösung:
>
> [mm]\bruch{1}{17}cos(2x)-\bruch{4}{17}sin(2x)+C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x)[/mm]
>
Dann lautet die allgemeine Lösung:
[mm]\bruch{1}{17}cos(2x)*\blue{e^{-x}}-\bruch{4}{17}sin(2x)*\blue{e^{-x}}+C_{1}cos(2x)+ C_{2}sin(2x)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Do 19.12.2013 | | Autor: | Madabaa |
Danke
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