DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
| Aufgabe | | Lösen Sie die DGL [mm] y''-y=e^{-x} [/mm] mit den Anfangsbedingungen y(0)=0 und [mm] y#(0)=\bruch{3}{2} [/mm] |
Lösung der charakteristischen Gleichung y''-y=0
Ansatz: [mm] y=e^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] y'=\lambda*e^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] y''=\lambda^{2}*e^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] \lambda^{2}-\lambda=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=0
[/mm]
Mit [mm] \lambda_1\not=\lambda_2 [/mm] folgt für die Fundamentalbasis
[mm] x_1=e^{\lambda_1*x}=e^{x} [/mm] und [mm] x_2=e^{\lambda_2*x}=e^{0}=1
[/mm]
Also [mm] y(x)=C_1*e^{x}+C_2
[/mm]
spezielle Lösung: Ansatz [mm] y_p(x)=y_p''(x)-y_p(x)=e^{-x}
[/mm]
Und jetzt komme ich nicht weiter. Ich verstehe irgendwie die Lösungsansätze für Störglieder nicht.
Laut Formelsammlung muss ich mit einem der folgenden Ansätze rechnen.
a) [mm] y_p=A*e^{c*x} [/mm] für c keine Lösung der charakteristischen Gleichung
b) [mm] y_p=A*x*e^{c*x} [/mm] für c einfache Lösung der charakteristischen Gleichung
c) [mm] y_p=A*x^{2}*e^{c*x} [/mm] für c doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung
Kann mir das irgendjemand erklären??
|
|
| |
|
> Lösen Sie die DGL [mm]y''-y=e^{-x}[/mm] mit den Anfangsbedingungen
> y(0)=0 und [mm]y#(0)=\bruch{3}{2}[/mm]
> Lösung der charakteristischen Gleichung y''-y=0
>
> Ansatz: [mm]y=e^{\lambda*x}[/mm]
> [mm]y'=\lambda*e^{\lambda*x}[/mm]
> [mm]y''=\lambda^{2}*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> [mm]\lambda^{2}-\lambda=0[/mm]
das ist falsch, hier kommt [mm] \lambda^2-1=0 [/mm] hin
somit erhälst du als lösung der homogenen dgl:
[mm] y=c_1*{e}^{x}+c_2{e}^{-x}
[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=1[/mm] und [mm]\lambda_2=0[/mm]
>
> Mit [mm]\lambda_1\not=\lambda_2[/mm] folgt für die
> Fundamentalbasis
>
> [mm]x_1=e^{\lambda_1*x}=e^{x}[/mm] und
> [mm]x_2=e^{\lambda_2*x}=e^{0}=1[/mm]
>
> Also [mm]y(x)=C_1*e^{x}+C_2[/mm]
>
> spezielle Lösung: Ansatz [mm]y_p(x)=y_p''(x)-y_p(x)=e^{-x}[/mm]
>
>
>
> Und jetzt komme ich nicht weiter. Ich verstehe irgendwie
> die Lösungsansätze für Störglieder nicht.
>
>
> Laut Formelsammlung muss ich mit einem der folgenden
> Ansätze rechnen.
>
> a) [mm]y_p=A*e^{c*x}[/mm] für c keine Lösung der
> charakteristischen Gleichung
>
> b) [mm]y_p=A*x*e^{c*x}[/mm] für c einfache Lösung der
> charakteristischen Gleichung
da der ansatz a) in der homogenen lösung auftaucht, muss man nun den ansatz b) wählen, 2 mal ableiten und in die ursprungsdgl einsetzen, um dann durch einen koeffizientenvergleich das A zu bestimmen
gruß tee
>
> c) [mm]y_p=A*x^{2}*e^{c*x}[/mm] für c doppelte Lösung der
> charakteristischen Gleichung
>
> Kann mir das irgendjemand erklären??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
Danke erstmal für den Tipp. Hab das irgendwie übersehen.
Hab gedacht, es sei y''-y'=0 gefragt.
Das ich Ansatz b) benutzen muss, macht dann auch Sinn.
Ich weiß allerdings nicht, wie ich das umsetz.
Krieg das nicht abgeleitet.
Muss ja nach der Produktregel gehen. Aber ich weiß ja noch nichts über das A oder das c.
Vielleicht noch ein Denkanstoß??
|
|
|
| |
|
> Danke erstmal für den Tipp. Hab das irgendwie übersehen.
> Hab gedacht, es sei y''-y'=0 gefragt.
>
> Das ich Ansatz b) benutzen muss, macht dann auch Sinn.
>
> Ich weiß allerdings nicht, wie ich das umsetz.
> Krieg das nicht abgeleitet.
>
> Muss ja nach der Produktregel gehen. Aber ich weiß ja noch
> nichts über das A oder das c.
da die störfunktion [mm] e^{-x} [/mm] lautet, ist c=-1, am exponent verändert sich also nix.
und das A musst du gleich durch koeffizienten-vergleich herausfinden.
also leite den ansatz erstmal 2 mal ab, und setze es dann hier ein:
[mm] y_p=y_p''-y_p=e^{-x}
[/mm]
gruß tee
>
> Vielleicht noch ein Denkanstoß??
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
OK. Mich verwirrt das A aber immernoch.
[mm] y_p=A*x*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_p'=e^{-x}-x*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_p''=-e^{-x}+x*e^{-x}
[/mm]
Einsetzen ergibt: [mm] A*x*e^{-x}=-e^{-x}+x*e^{-x}-A*x*e^{-x}=e^{-x}
[/mm]
Das erscheint mir falsch. Hab aber keine andere Idee.
|
|
|
| |
|
> OK. Mich verwirrt das A aber immernoch.
>
> [mm]y_p=A*x*e^{-x}[/mm]
> [mm]y_p'=e^{-x}-x*e^{-x}[/mm]
> [mm]y_p''=-e^{-x}+x*e^{-x}[/mm]
wieso fällt das A hier überall weg?
>
> Einsetzen ergibt:
> [mm]A*x*e^{-x}=-e^{-x}+x*e^{-x}-A*x*e^{-x}=e^{-x}[/mm]
>
> Das erscheint mir falsch. Hab aber keine andere Idee.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
Hmm...habs mal als von x unabhängig angenommen. War wohl falsch.
Also nochmal.
[mm] y_p=A*x*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_p'=A'*x*e^{-x}+A*e^{-x}-A*x*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_p''=A''*x*e^{-x}+A'*e^{-x}-A'*x*e^{-x}+A'*e^{-x}-A*e^{-x}-A'*x*e^{-x}-A*e^{-x}+A*x*e^{-x}
[/mm]
Zusammengefasst:
[mm] y_p=A*x*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_p'=A'*x*e^{-x}+A*e^{-x}*(1-x)=e^{-x}*(A'+A-Ax)
[/mm]
[mm] y_p''=A''*x*e^{-x}+A'*e^{-x}*(2-2x)+A*e^{-x}*(-2-2x)=e^{-x}*(A''*x+2A'-2A'*x-2A-2Ax)
[/mm]
Richtig?
|
|
|
| |
|
> Hmm...habs mal als von x unabhängig angenommen. War wohl
> falsch.
>
> Also nochmal.
>
> [mm]y_p=A*x*e^{-x}[/mm]
> [mm]y_p'=A'*x*e^{-x}+A*e^{-x}-A*x*e^{-x}[/mm]
>
> [mm]y_p''=A''*x*e^{-x}+A'*e^{-x}-A'*x*e^{-x}+A'*e^{-x}-A*e^{-x}-A'*x*e^{-x}-A*e^{-x}+A*x*e^{-x}[/mm]
>
> Zusammengefasst:
>
> [mm]y_p=A*x*e^{-x}[/mm]
> [mm]y_p'=A'*x*e^{-x}+A*e^{-x}*(1-x)=e^{-x}*(A'+A-Ax)[/mm]
>
> [mm]y_p''=A''*x*e^{-x}+A'*e^{-x}*(2-2x)+A*e^{-x}*(-2-2x)=e^{-x}*(A''*x+2A'-2A'*x-2A-2Ax)[/mm]
>
> Richtig?
nein...
edit:
[mm] y_p'=(A*x*e^{-x})'=A*(x*e^{-x})'=A*(e^{-x}-x*e^{-x})=A*e^{-x}*(1-x)
[/mm]
nun du nochmal 
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
Dann ist ja [mm] y_p=y_p'
[/mm]
Das versteh ich nicht.
Dann müsste ja auch [mm] y_p'=y_p'' [/mm] sein. Oder?
|
|
|
| |
|
> Dann ist ja [mm]y_p=y_p'[/mm]
>
> Das versteh ich nicht.
>
> Dann müsste ja auch [mm]y_p'=y_p''[/mm] sein. Oder?
>
>
oh pardon, hatte die strichchen vergessen, habs nun editiert!
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:12 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
OK. Dann ist A also eine Konstante die ich nicht ableiten brauch.
Dann ist also
[mm] y_p''=A*(e^{-x}-x*e^{-x})'=A*(-e^{-x}+e^{-x}+x*e^{-x})=A*x*e^{-x}
[/mm]
Oder hab ich da schon wieder einen Fehler drin?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 05.07.2010 | | Autor: | hennes82 |
Hab nochmal weiter gerechnet.
Also
[mm] y_p=A*x*e^{-x} [/mm] und [mm] y_p''=A*(-e^{-x}*((1+x)+1))
[/mm]
Also
[mm] y_p=A*(-2*e^{-x}-x*e^{-x})-A*x+e^{-x}=-2*A*e^{-x}-A*x*e^{-x}-A*x*e^{-x}=e^{-x}
[/mm]
Dann gilt [mm] -4*A*e^{-x}=e^{-x} [/mm] Also [mm] A=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Richtig?
|
|
|
| |
|
> Hab nochmal weiter gerechnet.
>
> Also
>
> [mm]y_p=A*x*e^{-x}[/mm] und [mm]y_p''=A*(-e^{-x}*((1+x)+1))[/mm]
>
> Also
>
> [mm]y_p=A*(-2*e^{-x}-x*e^{-x})-A*x+e^{-x}=-2*A*e^{-x}-A*x*e^{-x}-A*x*e^{-x}=e^{-x}[/mm]
>
> Dann gilt [mm]-4*A*e^{-x}=e^{-x}[/mm] Also [mm]A=-\bruch{1}{4}[/mm]
>
hier muss stehen [mm] -2*A*e^{-x}=e^{-x}
[/mm]
[mm] x*e^{-x} [/mm] taucht ja rechts nicht auf und ist 0
gruß tee
> Richtig?
|
|
|
|
