matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenDGL 2.Ordnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2.Ordnung
DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DGL 2.Ordnung: Tipp partikuläre Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Aufgabe
Lösen Sie die DGL  x''(t)+x'(t)=2  mit den Anfangsbedingungen x(0)=0 und x'(0)=1

a) auf "normalem" Weg
b) mit Hilfe der Laplace-Transformation

Mein Ansatz ist:  x [mm] =e^{\lambda*t} [/mm]
                  [mm] x'=\lambda*e^{\lambda*t} [/mm]
                  [mm] x''=\lambda^{2}*e^{\lambda*t} [/mm]

allgemeine Lösung: [mm] \lambda^{2}*e^{\lambda*t}+\lambda*e^{\lambda*t}=0 [/mm]

Daraus folgt [mm] \lambda_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}} [/mm]

Also [mm] \lamda_{1}=0 [/mm]  und  [mm] \lambda_{2}=-1 [/mm]
Da [mm] \lambda_{1}\not=\lambda_{2} [/mm] folgt für die Fundamentalbasis    [mm] x_{1}=e^{\lambda_{1}*t=e^{0*t}=1} [/mm] und [mm] x_{2}=e^{\lambda_{2}*t=e^{-t}} [/mm]

Somit ergibt sich für die allgemeine Lösung:

[mm] x(t)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*t}=C_{1}+C_{2}*e^{-t} [/mm]

Habe ich bis hierher richtig gerechnet?
Soweit ich weiß, muss ich als nächstes eine partikuläre Lösung finden. Aber wie?

        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Mo 05.07.2010
Autor: fred97


> Lösen Sie die DGL  x''(t)+x'(t)=2  mit den
> Anfangsbedingungen x(0)=0 und x'(0)=1
>  
> a) auf "normalem" Weg
>  b) mit Hilfe der Laplace-Transformation
>  Mein Ansatz ist:  x [mm]=e^{\lambda*t}[/mm]
>                    [mm]x'=\lambda*e^{\lambda*t}[/mm]
>                    [mm]x''=\lambda^{2}*e^{\lambda*t}[/mm]
>  
> allgemeine Lösung:
> [mm]\lambda^{2}*e^{\lambda*t}+\lambda*e^{\lambda*t}=0[/mm]
>  
> Daraus folgt
> [mm]\lambda_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}}[/mm]
>  
> Also [mm]\lamda_{1}=0[/mm]  und  [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
>  Da [mm]\lambda_{1}\not=\lambda_{2}[/mm] folgt für die
> Fundamentalbasis    [mm]x_{1}=e^{\lambda_{1}*t=e^{0*t}=1}[/mm] und
> [mm]x_{2}=e^{\lambda_{2}*t=e^{-t}}[/mm]
>  
> Somit ergibt sich für die allgemeine Lösung:
>  
> [mm]x(t)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*t}=C_{1}+C_{2}*e^{-t}[/mm]
>  
> Habe ich bis hierher richtig gerechnet?


Ja


>  Soweit ich weiß, muss ich als nächstes eine partikuläre
> Lösung finden. Aber wie?


Ich denke man sieht durch scharfes Hinsehen, dass   $x(t)=2t$  eine spezielle Lösung ist

FRED

Bezug
                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Hmm...Woran sehe ich das??

Weil x''(t)+x'(t)=2 ist, und die rechte Seite integriert 2t ergibt? Oder wie?

Bezug
                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mo 05.07.2010
Autor: qsxqsx

Hallo,

Allgemein zum Ansatz, falls die Inhomogenität ein Polynom ist:

Ist die Inhomogenität ein Polynom vom grad n, und ist k der kleinste Grad der kleinsten Ableitung von x(t), dann ist die Partikuläre Lösung ein Polynom vom Grad (n+k).

Also setzt du einfach so ein Polynom (mit n+k+1) Koeffizienten ein und machst Koeffizientenvergleich.

(FRED: Hoffe das ist so mathematisch relativ plus minus okay ausgedrückt)

Grüsse

Bezug
                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Das verstehe ich leider nicht.

Ok, ich gehe mal davon aus, das ich das Störglied als Polynom verstehen soll.

Also ist dann mein Ansatz [mm] y_p=a*t+b [/mm]

Aber wie mach ich jetzt nen Koeffizientenvergleich?
Steh irgendwie auf dem Schlauch

Bezug
                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Mo 05.07.2010
Autor: qsxqsx

Ja, A*x + B


Einsetzen:

0 + A = 2

Koeffizientenvergleich:

A = 2

Gruss

Bezug
                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

OK. Erstmal Danke.

Ich setze also [mm] x_p=a*t+b [/mm] und setze das ganze gleich der rechten Seite der DGL.

Dann ergibt sich doch für [mm] x_p=2 [/mm]
und damit dann für die Lösung der DGL [mm] x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2 [/mm]

Ich muss aber doch noch irgendwie die Anfangsbedingungen mit einbeziehen, um die Konstanten [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] zu bestimmen.

Wie mach ich das denn?

Bezug
                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Mo 05.07.2010
Autor: fred97


> OK. Erstmal Danke.
>  
> Ich setze also [mm]x_p=a*t+b[/mm] und setze das ganze gleich der
> rechten Seite der DGL.
>  
> Dann ergibt sich doch für [mm]x_p=2[/mm]
>  und damit dann für die Lösung der DGL
> [mm]x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2[/mm]


Nein. Die allgemeine Lösung lautet:

[mm]x(t)=x_0(t)+x_p(t)=C_1+C_2*e^{-t}+2t[/mm]

>  
> Ich muss aber doch noch irgendwie die Anfangsbedingungen
> mit einbeziehen, um die Konstanten [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] zu
> bestimmen.

Tu es doch !

E s ist $0=x(0) = [mm] C_1+C_2+2*0= C_1+C_2$ [/mm]

also

               (1) $0= [mm] C_1+C_2+2*0= C_1+C_2$ [/mm]

Weiter ist $x'(t) = [mm] -C_2e^{-t}+2$ [/mm]

Also: $1=x'(0) = [mm] -C_2+2$ [/mm]

Somit

                (2)  $1= [mm] -C_2+2$ [/mm]

Nun berechne mit (1) und (2) die Zahlen [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm]

FRED

>  
> Wie mach ich das denn?


Bezug
                                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Also die 2t sind mir ehrlich gesagt nicht ganz klar.
Mein Ansatz für die partikuläre Lösung ist doch [mm] x_p=a*t+b. [/mm]

Ich dachte, das ganze muss ich mit der rechten Seite der DGL gleichsetzen. Also [mm] x_p=a*t+b=2 [/mm]

Wie komme ich darauf, dass die 2 dem a entspricht und nicht dem b?
Ist das so, weil ich die rechte Seite erst integrieren muss?

Das weitere Vorgehen ist mir klar.
Es ergibt sich für [mm] C_2=1 [/mm] und für [mm] C_1=-1 [/mm]

Also ist die gesuchte Lösung:  [mm] x(t)=e^{-t}+2t-1 [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mo 05.07.2010
Autor: fred97


> Also die 2t sind mir ehrlich gesagt nicht ganz klar.
>  Mein Ansatz für die partikuläre Lösung ist doch
> [mm]x_p=a*t+b.[/mm]
>  
> Ich dachte, das ganze muss ich mit der rechten Seite der
> DGL gleichsetzen. Also [mm]x_p=a*t+b=2[/mm]

Das ist doch Unfug ! [mm] x_p [/mm] soll doch Lösung der DGL sein ! Somit muß

                    [mm] $x_p''(t)+x_p'(t) [/mm] = 2$

also

                   $a=2$

gelten.


FRED


>  
> Wie komme ich darauf, dass die 2 dem a entspricht und nicht
> dem b?
>  Ist das so, weil ich die rechte Seite erst integrieren
> muss?
>  
> Das weitere Vorgehen ist mir klar.
>  Es ergibt sich für [mm]C_2=1[/mm] und für [mm]C_1=-1[/mm]
>  
> Also ist die gesuchte Lösung:  [mm]x(t)=e^{-t}+2t-1[/mm]  


Bezug
                                                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

OK. Vielen Dank.

Ich muss mich wohl noch intensiver mit DGL auseinandersetzen.
Klar muss die partikuläre Lösung die DGL erfüllen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]