DGL 1. Ordnung mit Störfunktion t*e^(3t) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen, also ich hab mich entweder verrand, oder komm einfach nicht weiter.
Zu lösen ist folgende DGL:
[mm] y'=t*e^{3t}-2y
[/mm]
die zugehörige homogene DGL [mm] y_h [/mm] hab ich zu
[mm] y_h=A*e^{-2x}+B [/mm]
gelöst.
Für die Störfunktion habe ich folgenden Ansatz gewählt:
[mm] y_p=ate^{3t} [/mm] => [mm] y_p'=ae^{3t}+3ate^{3t}
[/mm]
setze ich das in [mm] y'+2y=te^{3t} [/mm] ein erhalte ich:
[mm] ae^{3t}+3ate{3t}+2ate^{3t}=t*e^{3t}
[/mm]
[mm] e^{3t} [/mm] kürzt sich raus und ich erhalte:
a(1+5t)=t
Und jetzt???
Ich weiß nicht weiter und hoffe Ihr könnt mir helfen!!!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mo 26.07.2004 | | Autor: | techniker |
Hä ich glaub ich hab gerade schon meinen Fehler gefunden, DGL`s 1.Ordnung sollte man wohl lieber auch mit den Methoden für DGL`s 1. Ordnung bearbeiten und nicht mit denen für DGL`s 2.Ordnung.
Ich rechne es jetzt noch mal nach, mal schaun was rauskommt!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mo 26.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi techniker
auch wenn sich das problem jetzt wohl erledigt hat hier mal mein ansatz:
> [mm]y'=t*e^{3t}-2y[/mm]
>
> die zugehörige homogene DGL [mm]y_h[/mm] hab ich zu
>
> [mm]y_h=A*e^{-2x}+B[/mm]
>
> gelöst.
wo kommt den das $ B $ her? bei differentialgleichungen erster ordnung sollte man da in der regel nur eine integrationskonstante erwarten. ich habe als allgemeine lösung des homogenen problems
$$ [mm] y_h(x) [/mm] = C [mm] e^{-2x}, \qquad [/mm] C [mm] \in \mathbb{R}$$
[/mm]
erhalten - also bis auf die additive konstante das selbe wie du.
danach würde ich den ansatz der variation der konstanten machen, indem man von $C$ zu einer differenzierbaren funktion $C(x)$ übergeht - also quasi das selbe wie du nur etwas allgemeiner. dann erhalte ich:
(1) $ y(x) = C(x) [mm] e^{-2x} [/mm] $
(2) $ y'(x) = [mm] C'(x)e^{-2x} [/mm] - [mm] 2C(x)e^{-2x} [/mm] $
wenn man dies nun in die differnetialgleichung einsetzt erhält man:
[mm] \begin{array}{rcl}
y' & = & xe^{3x} - 2y \\
C'(x)e^{-2x} - 2C(x)e^{-2x} & = &xe^{3x} - 2C(x) e^{-2x} \\
C'(x)e^{-2x} & = & xe^{3x} \\
C'(x) & = & xe^{5x} \\
C(x) & = & \frac{1}{5} xe^{5x} - \frac{1}{25} e^{5x}
\end{array}
[/mm]
wobei sich die letzte zeile durch partielle integration ergibt.
setzt man dies nun in (1) ein, um eine spezielle lösung [mm] $y_s$ [/mm] zu erhalten, so ergibt sich:
$$ [mm] y_s(x) [/mm] = [mm] C(x)e^{-2x} [/mm] = [mm] (\frac{1}{5} xe^{5x} [/mm] - [mm] \frac{1}{25} e^{5x})e^{-2x} [/mm] = [mm] \frac{1}{5} xe^{3x} [/mm] - [mm] \frac{1}{25} e^{3x} [/mm] $$
also als allgemiene lösung dann:
$$y(x) = [mm] y_s(x) [/mm] + [mm] Cy_h(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{5} xe^{3x} [/mm] - [mm] \frac{1}{25} e^{3x} [/mm] + [mm] Ce^{-2x}, \qquad [/mm] C [mm] \in \mathbb{R}$$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Di 27.07.2004 | | Autor: | techniker |
Hi Andreas, das ist wohl war, was du da schreibst.
Ich weiß auch nicht wie ich auf diesen Trichter gekommen bin, wahrscheinlich weil ich vorher die ganze Zeit DGL's 2.Ordnung gerechnet hab'.
Ich habs nachdem ich meinen Fehler bemerkt hab genauso wie du gerechnet, und hat einwandfrei geklappt.
Also vielen Dank!!!
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