DGL 1.Ordnung Komplex lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Sa 07.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | DGL mit einem Komplexen Ansatz zu lösen.
$y' +2y=-cosx$ |
Hallo zusammen,
also die DGL wurde von uns in verschieden Varianten gelöst:
a) Partikulärer Ansatz
b) Variation der Konstanten
a) b) habe ich gelöst.
nun sollte man zum Vergleich diese DGL mit dem Komplexen Ansatz lösen.
diese wurde bei uns sehr mager behandelt, so weis ich nicht recht wo man da anfangen soll.
Der Eulerscher Ansatz sollte dabei helfen:
[mm] $e^{j\phi} [/mm] = cosx + jsinx$
aus den Lösungen a oder b kann ich den Homogenen Teill entnehmen:
[mm] $y_{h} [/mm] = [mm] e^{-2x}*C$
[/mm]
Die Lösung des Partikuläres Teils ist:
[mm] $y_{p} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * sinx - [mm] \bruch{2}{5}*cosx [/mm] = - [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (sinx + 2*cosx)$
wie geht es nun weiter ?
mfg
masa
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Hallo masa-ru,
> DGL mit einem Komplexen Ansatz zu lösen.
>
> [mm]y' +2y=-cosx[/mm]
> Hallo zusammen,
> also die DGL wurde von uns in verschieden Varianten
> gelöst:
> a) Partikulärer Ansatz
> b) Variation der Konstanten
>
> a) b) habe ich gelöst.
>
> nun sollte man zum Vergleich diese DGL mit dem Komplexen
> Ansatz lösen.
> diese wurde bei uns sehr mager behandelt, so weis ich
> nicht recht wo man da anfangen soll.
>
> Der Eulerscher Ansatz sollte dabei helfen:
> [mm]e^{j\phi} = cosx + jsinx[/mm]
>
> aus den Lösungen a oder b kann ich den Homogenen Teill
> entnehmen:
> [mm]y_{h} = e^{-2x}*C[/mm]
>
> Die Lösung des Partikuläres Teils ist:
> [mm]y_{p} = - \bruch{1}{5} * sinx - \bruch{2}{5}*cosx = - \bruch{1}{5} (sinx + 2*cosx)[/mm]
>
> wie geht es nun weiter ?
Nach Euler gilt ja:
[mm]\cos\left(\right)=\bruch{1}{2}*\left(e^{j*x}+e^{-j*x}\right)[/mm]
Wähle hier also den Ansatz:
[mm]y_{p}\left(x\right)=A*e^{j*x}+B*e^{-j*x}[/mm]
>
> mfg
> masa
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 07.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
hallo MathePower, danke für die rasche Antwort, habe aber hierzu noch ein paar fragen:
Frage 1:
> Nach Euler gilt ja:
> $ [mm] \cos\left(\right)=\bruch{1}{2}\cdot{}\left(e^{j\cdot{}x}+e^{-j\cdot{}x}\right) [/mm] $
klingt logisch
und wenn ich Sinus haben will sieht das dan so aus?:
$ [mm] \sin\left(\right)=\bruch{1}{2*\red{j}}\cdot{}\left(e^{j\cdot{}x}\red{-}e^{-j\cdot{}x}\right) [/mm] $ weil [mm] $e^{j\cdot{}x}\red{-}e^{-j\cdot{}x}\right [/mm] = 2*j*sinx$
Frage 2
> Wähle hier also den Ansatz:
> $ [mm] y_{p}\left(x\right)=A\cdot{}e^{j\cdot{}x}+B\cdot{}e^{-j\cdot{}x} [/mm] $
wie kommst du dazu, weil die störfunktion so aussieht nur halt mit anderen Koeffizienten?
Wie wäre der Ansatz bei $g(x)= sin(x)$
[mm] y_{p}\left(x\right)=A\cdot{}e^{j\cdot{}x}\red{-}B\cdot{}e^{-j\cdot{}x} [/mm] ?
Frage 3
wenn ich den Ansetz nehme: $ [mm] y_{p}\left(x\right)=A\cdot{}e^{j\cdot{}x}+B\cdot{}e^{-j\cdot{}x} [/mm] $
dann muss ich ja:
1: y'_{p} bestimmen
2. in die Gleichung einsetzen
3: Koeffizienten bestimmen
------
1: $ [mm] y'_{p}\left(x\right)=Aj\cdot{}e^{j\cdot{}x}-Bj\cdot{}e^{-j\cdot{}x} [/mm] $
2: $ y' +2y=-cosx = y'_{p} + [mm] y_{p} [/mm] = -cosx = [mm] \red{-}\bruch{1}{2}\cdot{}\left(e^{j\cdot{}x}+e^{-j\cdot{}x}\right) [/mm] $
also :
[mm] Aj\cdot{}e^{j\cdot{}x}-Bj\cdot{}e^{-j\cdot{}x} +2(A\cdot{}e^{j\cdot{}x}+B\cdot{}e^{-j\cdot{}x}) [/mm] = [mm] \red{-}\bruch{1}{2}\cdot{}\left(e^{j\cdot{}x}+e^{-j\cdot{}x}\right)
[/mm]
bzw:
[mm] $\blue{e^{j\cdot{}x}} [/mm] (2A+AJ ) + [mm] \green{e^{-j\cdot{}x}} [/mm] (2B -Bj ) = [mm] -\bruch{1}{2}\cdot{}\blue{e^{j\cdot{}x}}-\bruch{1}{2}\cdot{}\green{e^{-j\cdot{}x}}$
[/mm]
3: hier kann man nun die Koeffizienten vergleichen:
[mm] $\blue{e^{j\cdot{}x}}$ [/mm] : $(2A+Aj ) = [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] ; $ 2+j = [mm] -\bruch{1}{2A}$ [/mm] ; $ j = [mm] -\bruch{1}{2A} [/mm] -2$ ; $j = [mm] -\bruch{1+4A}{2A} [/mm] $
[mm] $\green{e^{-j\cdot{}x}}$: [/mm] $ (2B -Bj ) = [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] ; $ 2 -j = [mm] -\bruch{1}{2B}$ [/mm] ; $ -j = [mm] -\bruch{1}{2B} [/mm] -2$ ; $ -j = [mm] -\bruch{1+4B}{2B}$ [/mm] ; $ j = [mm] \bruch{1+4B}{2B}$
[/mm]
$j = [mm] -\bruch{1+4A}{2A} [/mm] = [mm] \bruch{1+4B}{2B}$
[/mm]
irgendwie komme ich nicht weiter habe 2-Gelichungen mit 3 unbekannten.
ist der Ansatz bis dahin richtig ?
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Hallo masa-ru,
> hallo MathePower, danke für die rasche Antwort, habe aber
> hierzu noch ein paar fragen:
>
> Frage 1:
> > Nach Euler gilt ja:
> >
> [mm]\cos\left(\right)=\bruch{1}{2}\cdot{}\left(e^{j\cdot{}x}+e^{-j\cdot{}x}\right)[/mm]
> klingt logisch
> und wenn ich Sinus haben will sieht das dan so aus?:
>
> [mm]\sin\left(\right)=\bruch{1}{2*\red{j}}\cdot{}\left(e^{j\cdot{}x}\red{-}e^{-j\cdot{}x}\right)[/mm]
> weil [mm]e^{j\cdot{}x}\red{-}e^{-j\cdot{}x}\right = 2*j*sinx[/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Frage 2
> > Wähle hier also den Ansatz:
> >
> [mm]y_{p}\left(x\right)=A\cdot{}e^{j\cdot{}x}+B\cdot{}e^{-j\cdot{}x}[/mm]
> wie kommst du dazu, weil die störfunktion so aussieht nur
> halt mit anderen Koeffizienten?
Ich hab den Ansatz entsprechend der Störfunktion gewählt.
Manche wählen den Ansatz [mm]y_{p}=A*e^{jx}[/mm], ermitteln A,
und nehmen dann, von der Lösung nur den Realteil.
> Wie wäre der Ansatz bei [mm]g(x)= sin(x)[/mm]
>
> [mm]y_{p}\left(x\right)=A\cdot{}e^{j\cdot{}x}\red{-}B\cdot{}e^{-j\cdot{}x}[/mm]
> ?
Auch so wie oben.
>
> Frage 3
> wenn ich den Ansetz nehme:
> [mm]y_{p}\left(x\right)=A\cdot{}e^{j\cdot{}x}+B\cdot{}e^{-j\cdot{}x}[/mm]
>
> dann muss ich ja:
> 1: y'_{p} bestimmen
> 2. in die Gleichung einsetzen
> 3: Koeffizienten bestimmen
> ------
> 1:
> [mm]y'_{p}\left(x\right)=Aj\cdot{}e^{j\cdot{}x}-Bj\cdot{}e^{-j\cdot{}x}[/mm]
> 2: [mm]y' +2y=-cosx = y'_{p} + y_{p} = -cosx = \red{-}\bruch{1}{2}\cdot{}\left(e^{j\cdot{}x}+e^{-j\cdot{}x}\right)[/mm]
>
> also :
> [mm]Aj\cdot{}e^{j\cdot{}x}-Bj\cdot{}e^{-j\cdot{}x} +2(A\cdot{}e^{j\cdot{}x}+B\cdot{}e^{-j\cdot{}x})[/mm]
> =
> [mm]\red{-}\bruch{1}{2}\cdot{}\left(e^{j\cdot{}x}+e^{-j\cdot{}x}\right)[/mm]
>
> bzw:
> [mm]\blue{e^{j\cdot{}x}} (2A+AJ ) + \green{e^{-j\cdot{}x}} (2B -Bj ) = -\bruch{1}{2}\cdot{}\blue{e^{j\cdot{}x}}-\bruch{1}{2}\cdot{}\green{e^{-j\cdot{}x}}[/mm]
>
> 3: hier kann man nun die Koeffizienten vergleichen:
>
> [mm]\blue{e^{j\cdot{}x}}[/mm] : [mm](2A+Aj ) = -\bruch{1}{2}[/mm] ; [mm]2+j = -\bruch{1}{2A}[/mm]
> ; [mm]j = -\bruch{1}{2A} -2[/mm] ; [mm]j = -\bruch{1+4A}{2A}[/mm]
>
> [mm]\green{e^{-j\cdot{}x}}[/mm]: [mm](2B -Bj ) = -\bruch{1}{2}[/mm] ; [mm]2 -j = -\bruch{1}{2B}[/mm]
> ; [mm]-j = -\bruch{1}{2B} -2[/mm] ; [mm]-j = -\bruch{1+4B}{2B}[/mm] ; [mm]j = \bruch{1+4B}{2B}[/mm]
>
> [mm]j = -\bruch{1+4A}{2A} = \bruch{1+4B}{2B}[/mm]
>
> irgendwie komme ich nicht weiter habe 2-Gelichungen mit 3
> unbekannten.
> ist der Ansatz bis dahin richtig ?
>
Du willst ja die Koeffizienten A,B herausbekommen. Löse also die entsprechenden Gleichungen nach A bzw. B auf:
[mm]A\left(2+j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow A= \ \dots[/mm]
[mm]B\left(2-j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow B= \ \dots[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 07.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
> Du willst ja die Koeffizienten A,B herausbekommen. Löse also die entsprechenden Gleichungen nach A bzw. B auf:
> $ [mm] A\left(2+j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] A= \ [mm] \dots [/mm] $
> $ [mm] B\left(2-j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] B= \ [mm] \dots [/mm] $
$ [mm] A\left(2+j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] A= [mm] -\bruch{1}{4+2j} [/mm] $
$ [mm] B\left(2-j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] B= [mm] -\bruch{1}{4-2j} [/mm] $
da hab ich aber immer nocht das j drinne :-(
mag die komplexe rechnungen nicht ^^
und wie komme icht nun
von: $ [mm] y_{p}= -\bruch{1}{4+2j}\cdot{}e^{j\cdot{}x}-\bruch{1}{4-2j} \cdot{}e^{-j\cdot{}x} [/mm] $
nach: $ [mm] y_{p} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{5} \cdot{} [/mm] sinx - [mm] \bruch{2}{5}\cdot{}cosx [/mm] $
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Hallo masa-ru,
> > Du willst ja die Koeffizienten A,B herausbekommen. Löse
> also die entsprechenden Gleichungen nach A bzw. B auf:
> > [mm]A\left(2+j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow A= \ \dots[/mm]
>
> > [mm]B\left(2-j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow B= \ \dots[/mm]
>
> [mm]A\left(2+j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow A= -\bruch{1}{4+2j} [/mm]
>
> [mm]B\left(2-j\right)=-\bruch{1}{2} \Rightarrow B= -\bruch{1}{4-2j}[/mm]
>
> da hab ich aber immer nocht das j drinne :-(
> mag die komplexe rechnungen nicht ^^
>
> und wie komme icht nun
>
> von: [mm]y_{p}= -\bruch{1}{4+2j}\cdot{}e^{j\cdot{}x}-\bruch{1}{4-2j} \cdot{}e^{-j\cdot{}x}[/mm]
>
> nach: [mm]y_{p} = - \bruch{1}{5} \cdot{} sinx - \bruch{2}{5}\cdot{}cosx[/mm]
Erweitere zu nächst die Brüche so, daß im Nenner eine reelle Zahl steht.
Das erreicht man, wenn mit dem ![[]](/images/popup.gif) konjugiert komplexen dieser komplexen Zahl erweitert.
Wende dann die Definitionen von [mm]e^{j*x}[/mm] bzw. [mm]e^{-j*x}[/mm] an:
[mm]e^{j*x}=\cos\left(x\right)+j*\sin\left(x\right)[/mm]
[mm]e^{-j*x}=\cos\left(x\right)-j*\sin\left(x\right)[/mm]
Setze das alles dann in den Ansatz ein, und multipliziere das aus.
Gruß
MathePower
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Hallo masa-ru,
> MathePower du bist mein Held 
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
>
> nach der Konjugierten Erweiterung kürzt sich alles weg
>
> A mit [mm]\bruch{4-2j}{4-2j}[/mm] erweitern
>
> B mit [mm]\bruch{4+2j}{4+2j}[/mm] erweitern
>
> ok das hat geklappt, anschließen euler anwenden und die
> Lösung ist da
>
> muss das nochmal mit:
> > Manche wählen den Ansatz [mm]y_{p}=A\cdot{}e^{jx} [/mm],
> ermitteln A,
> > und nehmen dann, von der Lösung nur den Realteil.
>
> probieren ....
>
> Ok so kann man die DGL's die als störfunktion cosx,sinx
> haben lösen wie siehts es aus wenn man was anderes als
> cosx, sinx hat ?
> z.B.
> g(x) = 2x
> g(x) = [mm]x^2[/mm]
>
> also mit einem Komplexen Ansatz.
Den Komplexen Ansatz kann man nur machen, wenn man eine trigonometrische Funktion als Störfunktion hat. Dieser Ansatz funktioniert auch, wenn man als Störfunktion [mm]e^{ax}\cos\left(bx\right), \ e^{ax}\sin\left(bx\right)[/mm] hat.
Auf andere Funktionen wie oben funktioniert das nicht.
>
>
> Danke sehr MathePower !!!
>
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Sa 07.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
aaa ok also ohne j aus dem Imaginär teil
Im(a + bj) = b
Re(a + bj) = a
Danke nochmal MathePower!
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