DGL - schwache Dämpfung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 So 12.03.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Herby,
auch ich komme mit dieser Antwort nicht klar, kenne allerdings das Buch nicht und habe deswegen, mit dieser etwas ungebräuchlichen Nomenklatur, die Aufgabe durchgerechnet.
Mit den Randbedingungen komme auch ich auf
$$ [mm] \tan(\phi_{d}) [/mm] = [mm] \bruch{\omega_{d}}{\delta} [/mm] $$ und danach stellt sich die Frage, wie man den Sinusausdruck, der über die Ausgangsauslenkung entsteht, mit Hilfe des Tangens ausdrückt. Das geht aber mit
$$ [mm] \tan^{2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{\sin^{2}(x)}{1+\sin^{2}(x)} [/mm] $$
und so kommt man mit einigem Umformen auf den Ausdruck
$$ (1 + [mm] \bruch{\delta^2}{\omega_0^2}) \cdot A^2 [/mm] = [mm] C^2$$ [/mm]
Für $ [mm] \delta [/mm] = 0 $ kommt also ein sinnvolles Ergebnis raus, nämlich die harmonische Schwingung mit einer Amplitude $ A $ und einer Phasenverschiebung von 90 Grad, also einer Cosinusschwingung. Bringt man den Term mit dem Bruch noch auf einen Hauptnenner, so gibt das
$$ [mm] \bruch{\omega_0^2 + \delta^2}{\omega_{0}^2} \cdot A^2 [/mm] = [mm] C^2 [/mm] $$
Für den Ausdruck im Zähler des Bruchs lässt sich natürlich $ [mm] \omega_d [/mm] $ einführen, wenn man unbedingt möchte, denn $$
[mm] \omega_0^2 [/mm] + [mm] \delta^2 [/mm] = [mm] \omega_d^2 [/mm] + 2 [mm] \delta^2 [/mm] $$, und anschließend kann man $ [mm] \delta^2 [/mm] $ vernachlässigen. Wenn man dann noch die Wurzel zieht, kommt man auf
$$ C = [mm] \bruch{\omega_d}{\omega_0} \cdot [/mm] A $$ Wurden da vielleicht die Indizes für die Kreisfrequenzen vertauscht?
Viele Grüße,
Infinit
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(find ich) und b-tens: damit mir die Chance genommen wird, etwas rein zu interpretieren 
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