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| Aufgabe | Berechnen Sie die lösung des Anfangswertproblemes y'(x) = Ay(x)+b(x), y(0) = [mm] y_0
[/mm]
für folgenden Fall:
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\4 & -3 }, [/mm] b(x) = [mm] \pmat{ e^{-x }\\ 0 }, y_0 [/mm] = [mm] \pmat{1\\3} [/mm] |
Die Formel, die ich verwenden soll:
Y(x)c + [mm] Y(x)\integral^{x}{Y(t)^{-1}b(t) dt}
[/mm]
Ich fange also damit an, das Fundamentalsystem zu bilden.
Die Eigenwerte sind die doppelte Nullstelle -1;
Ich bilde also den Kern (A+I)
=> [mm] \pmat{1\\2}
[/mm]
Danach bilde ich den Kern von [mm] (A+I)^2
[/mm]
[mm] =>\pmat{1\\ 2}\pmat{1\\4}
[/mm]
Da die beiden Vektoren multipliziert mit (A+I) nicht 0 ergeben:
[mm] y_1(x) [/mm] = [mm] e^x [\pmat{1\\2} [/mm] + [mm] x(A+I)\pmat{1\\2}]
[/mm]
==> [mm] y_1(x) [/mm] = [mm] \pmat{e^x (1+x)\\e^x(2+4x)}
[/mm]
[mm] y_2(x) [/mm] = [mm] e^x[\pmat{1\\4} [/mm] + [mm] x(A+I)\pmat{1\\4}]
[/mm]
=> [mm] y_2(x) [/mm] = [mm] \pmat{e^x(1+x)\\e^x(4+8x)}
[/mm]
=> Y(x) = [mm] y_1(x) [/mm] + [mm] y_2(x)
[/mm]
Danach wird die inverse Matrix gebildet:
Y'(x) = [mm] \begin{pmatrix} \bruch{2e^{-x}}{1+t} & \bruch{-e^{-t}}{2+4t} \\ \bruch{-3^{-t}}{1+t}&\bruch{e^{-t}}{2+4t} \end{pmatrix}
[/mm]
Als nächstes wird ein Integral gebildet mit der inversen Matrix * b(t) und nach t aufgelöst.
Und da liegt mein Problem...
Wenn ich
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{2e^{-x}}{1+x} & \bruch{-e^{-x}}{2+4x} \\ \bruch{-3^{-x}}{1+x}&\bruch{e^{-x}}{2+4x} \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \pmat{e^{-x}\\0}
[/mm]
rechne, kommt dabei noch nicht einfleuchtend "kurzes" raus.
Es bleibt:
[mm] \bruch{e^{-2x}* (5+9x)}{2(1+x)(1+2x)}
[/mm]
Da ich das aber in ein Integral einsetzen soll
würde ich dann doch nochmal gern nachfragen.
Per Hand hab ich gleich gar nicht damit angefangen und Mathematica spuckt "interessante" Sachen dazu aus.
Hab ich doch irgendwo einen Flüchtigkeitsfehler, oder übersehe ich etwas Offensichtliches?
Eigentlich hatte ich gehofft, dass spätestens bei der Multiplikation ein Knoten aufgeht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 09.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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