DGL < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Tyson |
Hallo ich habe gerade bei einer Aufgabe probleme:
| Aufgabe | Gegeben sei die Bernoullische Differenzialgleichung
[mm] e^x [/mm] * y' = - [mm] \bruch{1}{3}*e^xy [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*y^4 [/mm]
, [mm] y*(ln(1+\wurzel{2})) [/mm] = 1
a) Transformieren Sie diese Differenzialgleichung in eine lineare Differenzialgleichung.
b) Bestimmen Sie die Lösung des obigen Anfangswertproblems. |
Mein Ansatz:
y' = - [mm] \bruch{1}{3}y [/mm] - [mm] \bruch{1}{3*e^x}*y^4
[/mm]
a(x) = -1/3
b(x) = - [mm] \bruch{1}{3*e^x}
[/mm]
a = 4
z= [mm] y^{-3}
[/mm]
z'(x) = [mm] -3y^{-4}*y'
[/mm]
Nach meiner musterlösung kam diese ableitung raus.
Ich musste nachschauen da ich selber einfach nicht drauf gekommen bin. Vielleicht kann mir jemand erklären wie man mit der kettenregel drauf kommt?
Und wäre schön wenn mir jemand sagen kann wie ich weiter vorgehen muss, weil jetzt weis sich nicht wie ich weiter vorgehen soll.
nicht gstellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mo 01.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ich habe gerade bei einer Aufgabe probleme:
>
> Gegeben sei die Bernoullische Differenzialgleichung
>
> [mm]e^x[/mm] * y' = - [mm]\bruch{1}{3}*e^xy[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}*y^4[/mm]
>
> , [mm]y*(ln(1+\wurzel{2}))[/mm] = 1
>
> a) Transformieren Sie diese Differenzialgleichung in eine
> lineare Differenzialgleichung.
> b) Bestimmen Sie die Lösung des obigen
> Anfangswertproblems.
>
> Mein Ansatz:
>
> y' = - [mm]\bruch{1}{3}y[/mm] - [mm]\bruch{1}{3*e^x}*y^4[/mm]
>
> a(x) = -1/3
>
> b(x) = - [mm]\bruch{1}{3*e^x}[/mm]
>
> a = 4
>
> z= [mm]y^{-3}[/mm]
>
> z'(x) = [mm]-3y^{-4}*y'[/mm]
>
> Nach meiner musterlösung kam diese ableitung raus.
>
> Ich musste nachschauen da ich selber einfach nicht drauf
> gekommen bin. Vielleicht kann mir jemand erklären wie man
> mit der kettenregel drauf kommt?
Es ist z(x)=u(y(x)) mit [mm] u(t)=t^{-3}
[/mm]
>
> Und wäre schön wenn mir jemand sagen kann wie ich weiter
> vorgehen muss, weil jetzt weis sich nicht wie ich weiter
> vorgehen soll.
Multipliziere die DGL
$ [mm] e^x [/mm] $ * y' = - $ [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}e^xy [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}y^4 [/mm] $
mit [mm] y^{-4} [/mm] durch.
Dann bekommst Du eine lineare DGL für z.
FRED
> nicht gstellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Tyson |
> > Hallo ich habe gerade bei einer Aufgabe probleme:
> >
> > Gegeben sei die Bernoullische Differenzialgleichung
> >
> > [mm]e^x[/mm] * y' = - [mm]\bruch{1}{3}*e^xy[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}*y^4[/mm]
> >
> > , [mm]y*(ln(1+\wurzel{2}))[/mm] = 1
> >
> > a) Transformieren Sie diese Differenzialgleichung in eine
> > lineare Differenzialgleichung.
> > b) Bestimmen Sie die Lösung des obigen
> > Anfangswertproblems.
> >
> > Mein Ansatz:
> >
> > y' = - [mm]\bruch{1}{3}y[/mm] - [mm]\bruch{1}{3*e^x}*y^4[/mm]
> >
> > a(x) = -1/3
> >
> > b(x) = - [mm]\bruch{1}{3*e^x}[/mm]
> >
> > a = 4
> >
> > z= [mm]y^{-3}[/mm]
> >
> > z'(x) = [mm]-3y^{-4}*y'[/mm]
> >
> > Nach meiner musterlösung kam diese ableitung raus.
> >
> > Ich musste nachschauen da ich selber einfach nicht drauf
> > gekommen bin. Vielleicht kann mir jemand erklären wie man
> > mit der kettenregel drauf kommt?
>
>
> Es ist z(x)=u(y(x)) mit [mm]u(t)=t^{-3}[/mm]
> >
> > Und wäre schön wenn mir jemand sagen kann wie ich weiter
> > vorgehen muss, weil jetzt weis sich nicht wie ich weiter
> > vorgehen soll.
>
>
> Multipliziere die DGL
>
>
>
> [mm]e^x[/mm] * y' = - [mm]\bruch{1}{3}\cdot{}e^xy[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{3}\cdot{}y^4[/mm]
>
> mit [mm]y^{-4}[/mm] durch.
>
> Dann bekommst Du eine lineare DGL für z.
>
> FRED
> > nicht gstellt.
>
[mm] y^{-4}*y'*e^x [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3}*e^x*y^{-3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Wäre das so in ordnung ?
ABer wieso sollte ich das mit [mm] y^{-4} [/mm] durch multiplizieren?
Das habe ich nicht so verstanden ?
Wäre ich damit mit der a) fertig oder wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 01.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> > > Hallo ich habe gerade bei einer Aufgabe probleme:
> > >
> > > Gegeben sei die Bernoullische Differenzialgleichung
> > >
> > > [mm]e^x[/mm] * y' = - [mm]\bruch{1}{3}*e^xy[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}*y^4[/mm]
> > >
> > > , [mm]y*(ln(1+\wurzel{2}))[/mm] = 1
> > >
> > > a) Transformieren Sie diese Differenzialgleichung in eine
> > > lineare Differenzialgleichung.
> > > b) Bestimmen Sie die Lösung des obigen
> > > Anfangswertproblems.
> > >
> > > Mein Ansatz:
> > >
> > > y' = - [mm]\bruch{1}{3}y[/mm] - [mm]\bruch{1}{3*e^x}*y^4[/mm]
> > >
> > > a(x) = -1/3
> > >
> > > b(x) = - [mm]\bruch{1}{3*e^x}[/mm]
> > >
> > > a = 4
> > >
> > > z= [mm]y^{-3}[/mm]
> > >
> > > z'(x) = [mm]-3y^{-4}*y'[/mm]
> > >
> > > Nach meiner musterlösung kam diese ableitung raus.
> > >
> > > Ich musste nachschauen da ich selber einfach nicht drauf
> > > gekommen bin. Vielleicht kann mir jemand erklären wie man
> > > mit der kettenregel drauf kommt?
> >
> >
> > Es ist z(x)=u(y(x)) mit [mm]u(t)=t^{-3}[/mm]
> > >
> > > Und wäre schön wenn mir jemand sagen kann wie ich weiter
> > > vorgehen muss, weil jetzt weis sich nicht wie ich weiter
> > > vorgehen soll.
> >
> >
> > Multipliziere die DGL
> >
> >
> >
> > [mm]e^x[/mm] * y' = - [mm]\bruch{1}{3}\cdot{}e^xy[/mm] -
> > [mm]\bruch{1}{3}\cdot{}y^4[/mm]
> >
> > mit [mm]y^{-4}[/mm] durch.
> >
> > Dann bekommst Du eine lineare DGL für z.
> >
> > FRED
> > > nicht gstellt.
was willst Du uns mit 'nicht gestellt.' eigentlich sagen?
> >
>
>
> [mm]y^{-4}*y'*e^x[/mm] = - [mm]\bruch{1}{3}*e^x*y^{-3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Wäre das so in ordnung ?
Ja, ich würde es noch so umformen, dass da [mm] $z'(x)=\ldots$ [/mm] steht.
>
> ABer wieso sollte ich das mit [mm]y^{-4}[/mm] durch multiplizieren?
Die ![[]](/images/popup.gif) Transformation funktioniert so. Die Multiplikation mit [mm] $y^{-4}$ [/mm] führt zum selben Resultat.
>
> Das habe ich nicht so verstanden ?
>
> Wäre ich damit mit der a) fertig oder wie?
Ja.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hallo,
>
> > > > Hallo ich habe gerade bei einer Aufgabe probleme:
> > > >
> > > > Gegeben sei die Bernoullische Differenzialgleichung
> > > >
> > > > [mm]e^x[/mm] * y' = - [mm]\bruch{1}{3}*e^xy[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}*y^4[/mm]
> > > >
> > > > , [mm]y*(ln(1+\wurzel{2}))[/mm] = 1
> > > >
> > > > a) Transformieren Sie diese Differenzialgleichung in eine
> > > > lineare Differenzialgleichung.
> > > > b) Bestimmen Sie die Lösung des obigen
> > > > Anfangswertproblems.
> > > >
> > > > Mein Ansatz:
> > > >
> > > > y' = - [mm]\bruch{1}{3}y[/mm] - [mm]\bruch{1}{3*e^x}*y^4[/mm]
> > > >
> > > > a(x) = -1/3
> > > >
> > > > b(x) = - [mm]\bruch{1}{3*e^x}[/mm]
> > > >
> > > > a = 4
> > > >
> > > > z= [mm]y^{-3}[/mm]
> > > >
> > > > z'(x) = [mm]-3y^{-4}*y'[/mm]
> > > >
> > > > Nach meiner musterlösung kam diese ableitung raus.
> > > >
> > > > Ich musste nachschauen da ich selber einfach nicht drauf
> > > > gekommen bin. Vielleicht kann mir jemand erklären wie man
> > > > mit der kettenregel drauf kommt?
> > >
> > >
> > > Es ist z(x)=u(y(x)) mit [mm]u(t)=t^{-3}[/mm]
> > > >
> > > > Und wäre schön wenn mir jemand sagen kann wie ich weiter
> > > > vorgehen muss, weil jetzt weis sich nicht wie ich weiter
> > > > vorgehen soll.
> > >
> > >
> > > Multipliziere die DGL
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]e^x[/mm] * y' = - [mm]\bruch{1}{3}\cdot{}e^xy[/mm] -
> > > [mm]\bruch{1}{3}\cdot{}y^4[/mm]
> > >
> > > mit [mm]y^{-4}[/mm] durch.
> > >
> > > Dann bekommst Du eine lineare DGL für z.
> > >
> > > FRED
> > > > nicht gstellt.
>
> was willst Du uns mit 'nicht gestellt.' eigentlich sagen?
>
> > >
> >
> >
> > [mm]y^{-4}*y'*e^x[/mm] = - [mm]\bruch{1}{3}*e^x*y^{-3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > Wäre das so in ordnung ?
>
> Ja, ich würde es noch so umformen, dass da [mm]z'(x)=\ldots[/mm]
> steht.
>
> >
> > ABer wieso sollte ich das mit [mm]y^{-4}[/mm] durch multiplizieren?
>
> Die
> Transformation
> funktioniert so. Die Multiplikation mit [mm]y^{-4}[/mm] führt zum
> selben Resultat.
>
> >
> > Das habe ich nicht so verstanden ?
> >
> > Wäre ich damit mit der a) fertig oder wie?
>
> Ja.
>
> Gruß,
>
> notinX
Kannst du mir paar tips geben wie ich bei der b ) vorgehen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 01.04.2013 | | Autor: | notinX |
> > > > > nicht gstellt.
> >
> > was willst Du uns mit 'nicht gestellt.' eigentlich sagen?
?
>
> Kannst du mir paar tips geben wie ich bei der b ) vorgehen
> soll?
Gehe von folgender Gleichung aus:
[mm] $z'(x)-z(x)=e^{-x}$
[/mm]
multipliziere mit [mm] $e^{-x}$ [/mm] und verwende folgende Ableitung: [mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{z(x)}{e^{x}}$
[/mm]
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Tyson |
> > > > > > nicht gstellt.
> > >
> > > was willst Du uns mit 'nicht gestellt.' eigentlich sagen?
>
> ?
>
> >
> > Kannst du mir paar tips geben wie ich bei der b ) vorgehen
> > soll?
>
> Gehe von folgender Gleichung aus:
> [mm]z'(x)-z(x)=e^{-x}[/mm]
> multipliziere mit [mm]e^{-x}[/mm] und verwende folgende Ableitung:
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{z(x)}{e^{x}}[/mm]
>
> Gruß,
>
> notinX
Ok das wäre ja so:
[mm] y^{-3} -3y^{-4}*y' [/mm] = [mm] e^{-x}
[/mm]
WIe gehe ich weiter vor ?
Das habe ich nicht so ganz verstanden.
Warum muss ich denn die gleichung = [mm] e^{-x} [/mm] setzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mo 01.04.2013 | | Autor: | notinX |
> > > > > > > nicht gstellt.
> > > >
> > > > was willst Du uns mit 'nicht gestellt.' eigentlich sagen?
> >
> > ?
Du willst das wohl nicht beantworten...
> >
> > >
> > > Kannst du mir paar tips geben wie ich bei der b ) vorgehen
> > > soll?
> >
> > Gehe von folgender Gleichung aus:
> > [mm]z'(x)-z(x)=e^{-x}[/mm]
> > multipliziere mit [mm]e^{-x}[/mm] und verwende folgende
> Ableitung:
> > [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{z(x)}{e^{x}}[/mm]
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
> Ok das wäre ja so:
>
> [mm]y^{-3} -3y^{-4}*y'[/mm] = [mm]e^{-x}[/mm]
Nein, so ists falsch. Außerdem wollen wir doch eine DGL für z, wenn Du z eliminierst ist das nicht sehr sinnvoll.
>
> WIe gehe ich weiter vor ?
Hab ich doch schon geschrieben:
"multipliziere mit $ [mm] e^{-x} [/mm] $ und verwende folgende Ableitung: $ [mm] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{z(x)}{e^{x}} [/mm] $"
>
> Das habe ich nicht so ganz verstanden.
>
> Warum muss ich denn die gleichung = [mm]e^{-x}[/mm] setzen?
Keine Ahnung was Du tust, aber ich setze keine Gleichung [mm] $=e^{-x}$
[/mm]
Wenn Du die DGL für z aufstellst und auf beiden Seiten z subtrahierst kommst Du eben auf diese Gleichung.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Tyson |
Jetzt bin ich verwirrt ? Was soll ich jetzt genau machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 01.04.2013 | | Autor: | notinX |
> Jetzt bin ich verwirrt ? Was soll ich jetzt genau machen?
Was verwirrt Dich? Warum fängst Du nicht damit an, was Dir vorgeschlagen wurde?
Wenn Du überhaupt keine Ahnung hast, was zu tun ist (trotz Hilfestellung) solltest Du vielleicht nochmal einen Blick in die Theorie zur Bernoulli-DGL werfen. Das allgemeine Vorgehen ist eigentlich ziemlich schematisch.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Tyson |
Ok ich stelle mal die Gleichung zuerst nach z' um :
z' = [mm] -\bruch{1}{3}*y [/mm] - [mm] \bruch{1}{3*y^{-4}*e^x}
[/mm]
Stimmt das jetzt zuerst mal ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 01.04.2013 | | Autor: | notinX |
> Ok ich stelle mal die Gleichung zuerst nach z' um :
Welche Gleichung stellst Du nach z' um und warum tust Du das?
Wenn Du etwas präziser beschreiben würdest was Du warum und wie tust, würde das sicher schneller gehen und zum Ziel führen.
>
> z' = [mm]-\bruch{1}{3}*y[/mm] - [mm]\bruch{1}{3*y^{-4}*e^x}[/mm]
>
>
> Stimmt das jetzt zuerst mal ?
Also ich komme auf was anderes für z'
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich stelle mal die Gleichung zuerst nach z' um :
>
> z' = [mm]-\bruch{1}{3}*y[/mm] - [mm]\bruch{1}{3*y^{-4}*e^x}[/mm]
>
>
> Stimmt das jetzt zuerst mal ?
Man kann es nicht glauben !
Ich Dir sage: stelle einen Topf mit Wasser auf den Herd und warte bis das Wasser kocht. Dann tu Deine Nudeln rein und lasse sie 10 Minuten köcheln.
Und was machst Du daraus ?
Du stellst das Nudelwasser in die Tiefkühltruhe und jammerst nach einer Stunde: " was soll ich nur machen, das Wasse kocht nicht ?"
ich sage Dir nochmal: Herd ! nicht Tiefkühltruhe !
O.K. Du hast es kapiert und stellst den Topf auf den Herd. Wieder nach einer Stunde plärst Du: " was soll ich nur machen, das Wasse kocht nicht ?"
Ich frage Dich : " Hast Du den Herd angeschaltet ?"
Du antwortest: "jetzt bin ich aber verwirrt, warum soll ich den Herd anschalten ?"
Mann, Mann !!!
Ich hab Dir gesagt, Du sollt die DGL mit [mm] y^{-4} [/mm] durchmultiplizieren. Hättest Du das gemacht, so hättest Du bekommen:
[mm] y'y^{-4}e^x=-\bruch{1}{3}y*e^x-\bruch{1}{3}
[/mm]
Nun wissen wir: [mm] z=y^{-3} [/mm] und [mm] y'*y^{-4}=-\bruch{1}{3}z'
[/mm]
Es folgt:
[mm] -\bruch{1}{3}z'*e^x=-\bruch{1}{3}z*e^x-\bruch{1}{3}
[/mm]
Jetzt multiplizieren wir die letzte Gl mit -3 durch und bekommen:
[mm] z'e^x=ze^x+1.
[/mm]
Also :
[mm] z'=z+e^{-x}.
[/mm]
Ich hoffe, Du bist noch nicht verhungert.
FRED
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