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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 So 10.07.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Folgenden DGLen.
y'' - 2y' + y = sin(2x) |
Hallo,
also mit dem homogenen Teil hab ich kein Problem, aber dafür mit dem partikulären.
Wir haben gelernt, das wir unseren Ansatzt abhängig von der rechten Seite machen, also hier von dem sin(2x). Wenn auf der rechten Seite etwas steht wie A*sin(bx) + B*cos(bx) dann wähle ich als Ansatzt C*sin(bx)+D*cos(bx). Ich weiß jetzt nur nicht, ob ich bei dem Ansatz den cos(bx) mitnehme oder nicht, weil er ja auch nicht auf der rechten Seite steht bzw schon, wenn man davon ausgeht, dass die Konstante B=0 ist. Kann mir einer helfen?
LG
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Hallo al3pou,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Folgenden DGLen.
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> y'' - 2y' + y = sin(2x)
> Hallo,
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> also mit dem homogenen Teil hab ich kein Problem, aber
> dafür mit dem partikulären.
> Wir haben gelernt, das wir unseren Ansatzt abhängig von
> der rechten Seite machen, also hier von dem sin(2x). Wenn
> auf der rechten Seite etwas steht wie A*sin(bx) + B*cos(bx)
> dann wähle ich als Ansatzt C*sin(bx)+D*cos(bx). Ich weiß
> jetzt nur nicht, ob ich bei dem Ansatz den cos(bx) mitnehme
> oder nicht, weil er ja auch nicht auf der rechten Seite
> steht bzw schon, wenn man davon ausgeht, dass die Konstante
> B=0 ist. Kann mir einer helfen?
Dein Ansatz ist genau richtig!
Egal, ob rechts nur Sinus oder Cosinus oder eine Summe (Linearkombination) aus beiden steht!
Du musst nur aufpassen, ob das [mm]b[/mm] in [mm]\sin(bx)[/mm] bzw. [mm]\cos(bx)[/mm] eine Lösung der charakteristischen Gleichung [mm]\lambda^2-2\lambda+1=0[/mm] ist.
Je nachdem sind die Ansätze etwas unterschiedlich!
Hier ist [mm]b=2[/mm], das löst [mm]\lambda^2-2\lambda+1=0[/mm] nicht, also ist der Ansatz:
[mm]y_p=A\cdot{}\sin(2x)+B\cdot{}\cos(2x)[/mm]
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 10.07.2011 | | Autor: | al3pou |
Hmmm dann komme ich trotzdem nicht weiter. Wenn ich den Ansatz nehme dann sieht das so aus.
[mm] y_{p}(x) [/mm] = a*sin(2x) + b*cos(2x)
[mm] y_{p}'(x) [/mm] = 2a*cos(2x) - 2b*sin(2x)
[mm] y_{p}''(x) [/mm] = -4a*sin(2x) - 4b*cos(2x)
dann einsetzen und umformen ->
-3a -3b*cot(2x) -4a*cot(2x) + 4b = 1
jetzt weiß ich nicht, was ich da noch machen soll.
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Hallo nochmal,
> Hmmm dann komme ich trotzdem nicht weiter. Wenn ich den
> Ansatz nehme dann sieht das so aus.
>
> [mm]y_{p}(x)[/mm] = a*sin(2x) + b*cos(2x)
> [mm]y_{p}'(x)[/mm] = 2a*cos(2x) - 2b*sin(2x)
> [mm]y_{p}''(x)[/mm] = -4a*sin(2x) - 4b*cos(2x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann einsetzen und umformen ->
>
> -3a -3b*cot(2x) -4a*cot(2x) + 4b = 1
Huch?
Wenn ich das in [mm] $yP''-2y_p'+y_p=\sin(2x)$ [/mm] einsetze, bekomme ich (modulo Rechenfehler)
[mm] $(4b-3a)\sin(2x)+(-4a-3b)\cos(2x)=\sin(2x)$
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich also
1) $4b-3a=1$
2) $-4a-3b=0$
Dieses LGS nun nach $a,b$ lösen.
>
> jetzt weiß ich nicht, was ich da noch machen soll.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 So 10.07.2011 | | Autor: | al3pou |
oh stimmt, an Koeffizientenvgl. hab ich nicht gedacht. Danke 
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