DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 02.12.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo,
ich habe hier ein Problem beim lösen einer DGL.
y'+xy=4x
Als Lösung soll ich ja [mm] y=Ce^{-\bruch{x^{2}}{2}}+4 [/mm] erhalten. Nur irgendwo habe ich einen Fehler.
Mein Lösungsweg.
[mm] \bruch{dy}{y}=-xdx
[/mm]
[mm] y=Ce^{-\bruch{x^{2}}{2}}
[/mm]
[mm] y'=C'e^{-\bruch{x^{2}}{2}}-\bruch{1}{2}Cxe^{-\bruch{x^{2}}{2}}
[/mm]
Jetzt einsetzen --> [mm] C'=4xe^{\bruch{x^{2}}{2}}
[/mm]
[mm] C=4(2x^{2}-4)e^{\bruch{x^{2}}{2}}
[/mm]
Partikuläre Lösung: [mm] y_{P}=4(2x^{2}-4)
[/mm]
Und da "funktioniert" ja schon etwas nicht.
Ich Tippe ja darauf, das ich beim Integral nen Fehler habe.
Kann mir jemand helfen?
Danke
|
|
| |
|
Hallo Ice-Man,
> Hallo,
>
> ich habe hier ein Problem beim lösen einer DGL.
>
> y'+xy=4x
>
> Als Lösung soll ich ja [mm]y=Ce^{-\bruch{x^{2}}{2}}+4[/mm]
> erhalten. Nur irgendwo habe ich einen Fehler.
>
> Mein Lösungsweg.
>
> [mm]\bruch{dy}{y}=-xdx[/mm]
>
> [mm]y=Ce^{-\bruch{x^{2}}{2}}[/mm]
>
> [mm]y'=C'e^{-\bruch{x^{2}}{2}}-\bruch{1}{2}Cxe^{-\bruch{x^{2}}{2}}[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]y'=C'e^{-\bruch{x^{2}}{2}}-Cxe^{-\bruch{x^{2}}{2}}[/mm]
>
> Jetzt einsetzen --> [mm]C'=4xe^{\bruch{x^{2}}{2}}[/mm]
>
> [mm]C=4(2x^{2}-4)e^{\bruch{x^{2}}{2}}[/mm]
>
> Partikuläre Lösung: [mm]y_{P}=4(2x^{2}-4)[/mm]
>
> Und da "funktioniert" ja schon etwas nicht.
>
> Ich Tippe ja darauf, das ich beim Integral nen Fehler
> habe.
Ja, [mm]4(2x^{2}-4)e^{\bruch{x^{2}}{2}}[/mm] ist nicht die Stammfunktion von [mm]4xe^{\bruch{x^{2}}{2}}[/mm].
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Danke
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 02.12.2010 | | Autor: | Ice-Man |
[mm] \integral_{}^{}{4xe^ {\bruch{x^{2}}{2}}dx}
[/mm]
[mm] 4\integral_{}^{}{xe^{\bruch{x^{2}}{2}} dx}
[/mm]
Das wäre ja erstmal richtig, korrekt?
Nur kann ich denn dieses [mm] e^{\bruch{x^{2}}{2}} [/mm] noch irgendwie "umschreiben"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Do 02.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
> [mm]\integral_{}^{}{4xe^ {\bruch{x^{2}}{2}}dx}[/mm]
>
> [mm]4\integral_{}^{}{xe^{\bruch{x^{2}}{2}} dx}[/mm]
>
> Das wäre ja erstmal richtig, korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur kann ich denn dieses [mm]e^{\bruch{x^{2}}{2}}[/mm] noch irgendwie "umschreiben"?
Nein. Integriere hier mit Hilfe der substitution $z \ := \ [mm] \bruch{x^2}{2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Meinst du so,
[mm] z=\bruch{x^{2}}{2}=\bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=x
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{x}=dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{xe^{z} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{xe^{z}dz}{x}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{e^{z}dz}
[/mm]
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
Das stimmt soweit. Nun integrieren und anschließend resubstituieren.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Ice-Man |
[mm] \integral_{}^{}{e^{z}dz}=e^{z}
[/mm]
"Rücksubstituieren"...
[mm] z=\bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
[mm] -->e^{\bruch{x^{2}}{2}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Fr 03.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{}^{}{e^{z}dz}=e^{z}[/mm]
>
> "Rücksubstituieren"...
>
> [mm]z=\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]-->e^{\bruch{x^{2}}{2}}[/mm]
Richtig
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Die Integrationskonstante nicht vergessen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
