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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Do 28.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
folgende DGL will ich lösen:
u'(t)=a(u(t)-b) u(0)=100
u'(t)=a*u(t)-ab
Ich kann zuerst die homogene DGL lösen:
u'(t)=a*u(t)
[mm] f(t)=e^{\integral{a dx}}=e^{ax} [/mm] ist Lösung der homogenen DGL.
Im nächsten Schritt die inhomogene DGL:
u'(t)=a*u(t)-ab
[mm] f(t)=e^{ax}*(100-\integral_{0}^{t}{ab dx}) [/mm] ?
Hier bin ich mir nicht sicher? Ist mein Ansatz richtig? Wie integriere ich "ab"?
Es soll [mm] u(t)=b+(100-u(t))*e^{at} [/mm] m. Wissens die DGL lösen.
Aber wie komme ich darauf?
MfG
barsch
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Hallo barsch,
ich nehme mal an, dass a und b Konstanten sind und keine Funktionen von t. Dann wäre es nur eine gewöhnliche DGL, linear und inhomogen.
Ich habe es mal mit der "Variation einer Konstanten" gerechnet, also ab der homogenen Lösung
[mm]u_{0} =C*e^{a*t}[/mm]
[mm]u =K(t)*e^{a*t}[/mm] usw. ...
,bekomme dann aber als Lösung heraus:
[mm]u(t) = b + (100-b)*e^{a*t}[/mm]
Hast Du dich vertippt?
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Do 28.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke.
Ich habe mich vertippt. Deswegen bin ich gerade noch einmal online, weil ich eben noch einmal drüber saß und mir dachte, dass ich mich da irgendwie verschrieben haben muss.
Danke. 
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Do 28.06.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo barsch,
brauchst Du den Rechenweg ?
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Do 28.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe ja ausversehen zweimal gepostet. Den anderen Post bearbeitet kochmn zur Zeit.
Ich weiß jedoch nicht, wie er es erklärt. Variation der Konstanten sagt mir was, aber wie ich es da anwenden kann, weiß ich nicht.
Der Rechenweg wäre super. Aber wie gesagt, kochmn bearbeitet diese Aufgabe auch gerade.
Aber Rechenweg wäre schon klasse. Ich weiß ja nicht, wie viel das ist, wäre dir dankbar, wenn du mir den Rechenweg mal schreiben würdest.
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Do 28.06.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo barsch,
kochmn hat das ja alles super erkärt.
Ich schreib's Dir aber nochmla für deine Gleichung:
DGL: [mm]u'(t) = a*u(t) -ab[/mm] u(0) = 100
homogene Lsg.:
[mm]u_{0} = C*e^{a*t}[/mm]
Jetzt die Variation der Konstanten:
[mm]u = K(t)*e^{a*t}[/mm]
[mm]u' = K'(t)*e^{a*t} + K(t)*a*e^{a*t}[/mm]
Die Ableitung von u einsetzen in die inhomogene DGL:
[mm]K'(t)*e^{a*t} + K(t)*a*e^{a*t}= K(t)*a*e^{a*t}-a*b[/mm]
[mm]K'(t)= -a*b*e^{-a*t}[/mm]
[mm]K(t)= \integral -a*b*e^{-a*t}\, dt = b*e^{-a*t}+C[/mm]
K(t) jetzt einsetzen in u:
[mm]u = K(t)*e^{a*t} = (b*e^{-a*t}+C)*e^{a*t}[/mm]
[mm]u = b+C*e^{a*t}[/mm]
(Natürlich hier immer die Probe machen, ob die Lsg. die DGL erfüllt.)
Jetzt kann man den Anfangswert einsetzen:
[mm]u(0) = b + C = 100[/mm]
[mm]C = 100 - b[/mm]
[mm]u = b+(100 - b)*e^{a*t}[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Do 28.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke, dass du es anhand der Aufgabe wiedergegeben hast.
MfG
barsch
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