DGL. 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Blinkly |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösungen von
$y'' = [mm] \frac{2x^3-x}{y'}$
[/mm]
$y(2) = [mm] \sqrt(3)$
[/mm]
$y'(2) = [mm] 2\sqrt(3)$ [/mm] |
Hallo 
Ich habe leider noch eine Aufgabe gefunden, die ich bisher nicht lösen kann trotz mehrerer Versuche 
Der Hinweis zu dieser Aufgabe war, dass man sie auch mit Mitteln lösen kann, die nur DGLs erster Ordnung beinhalten, somit ist mein Ansatz folgender:
$y' = p(x)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] p' = [mm] (2x^3-x)\cdot \frac{1}{p}$
[/mm]
Das wäre dann also eine DGL vom Typ getrennte Veränderliche, also:
[mm] $\int [/mm] p\ dp = [mm] \int 2x^3-x\ [/mm] dx + [mm] c_1$
[/mm]
[mm] $\frac{p^2}{2} [/mm] = [mm] \frac{x^4-x^2}{2} [/mm] + [mm] c_1$
[/mm]
mit $p = y'$
y' = [mm] \sqrt{x^4 - x^2 + \tilde c_1}$
[/mm]
Mit $y'(2) = [mm] 2\sqrt(3)$:
[/mm]
[mm] $\tilde c_1 [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] y' = [mm] \sqrt{x^2-1} \cdot [/mm] x$
Nun müsste ich ja, wenn ich mich nicht täusche, "einfach" [mm] $\int [/mm] y'\ dx$ berechnen, allerdings scheint es da sogar ins komplexe zu gehen, so dass ich denke, ich habe bereits vorher einen Fehler gemacht, ich sehe nur leider nicht, wo
Ich hoffe auf Eure Hilfe
Grüße
Blinkly
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Blinkly |
> > [mm]\Rightarrow y' = \sqrt{x^2-1} \cdot x[/mm]
> >
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Danke =)
> > Nun müsste ich ja, wenn ich mich nicht täusche, "einfach"
> > [mm]\int y'\ dx[/mm] berechnen, allerdings scheint es da sogar ins
> > komplexe zu gehen,
>
> Wieso denn das? Du musst doch nur [mm]t=x^2[/mm] substituieren.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Oh je, oh je...Du hast völlig Recht, ich hab fast alles noch ein paar mal durchgerechnet, damit es nicht passiert, dass ich solch eine "doofe" Frage stell, aber das Integral...angeschaut, noch ohne das $x$ ausgeklammert zu haben und abgehakt *schäm*
Danke Dir trotzdem für Deine schnelle Antwort :)
Grüße
Blinkly
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Sa 17.07.2010 | | Autor: | Blinkly |
Um eben die Aufgabe zu beenden, der Vollständigkeit halber
> [mm] $\Rightarrow [/mm] y' = [mm] \sqrt{x^2-1} \cdot [/mm] x$
[mm] $\int \sqrt{x^2-1} \cdot [/mm] x\ dx$ mit $t = [mm] x^2$, [/mm] $x = [mm] \sqrt{x}$ [/mm] und [mm] $\frac{dt}{dx} [/mm] = 2x = [mm] 2\sqrt{t}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2} \int \sqrt{t-1}\ [/mm] dt$
$= [mm] \frac{1}{3} \cdot (x^2-1)^{\frac{3}{2}} [/mm] + [mm] c_2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] y = [mm] \frac{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}{3} [/mm] + [mm] c_2$
[/mm]
Aus y(2) = [mm] \sqrt{3} [/mm] folgt:
[mm] $\frac{(2^2-1)^{\frac{3}{2}}}{3} [/mm] + [mm] c_2 [/mm] = [mm] \sqrt{3}$
[/mm]
[mm] $c_2 [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow y=\frac{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}{3}$
[/mm]
Grüße
Blinkly
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