DGL.- ln Problem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 So 06.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen (mit Definitionsbereich) der DGL.
Y''+ 1/x=0 an
Welche Lösung erfüllt y(1)=0 und y'(1)=-2 |
Habe die DGL wie folgt gelöst:
Y'= - ln [mm] |x|+C_{1}
[/mm]
Y= ...
hier beginnt das Problem, in der Musterlösung wird eine Fallunterscheidung gemacht (wegen || )
[mm] \integral [/mm] ln|x| = [mm] \begin{cases} -xlnx+x+c_{2}+c_{1}x, & \mbox{für } x >0 \\ -xln(-x)+x+c_{2}+c_{1}x, & \mbox{für } x>0 \end{cases} [/mm] = [mm] -xln|x|+C_{o}x+c_{2}
[/mm]
und zwar setzt sich das scheinbar so zusammen:
(1) [mm] \integral [/mm] lnx dx= x [mm] \cdot [/mm] lnx -x +c (ok, nichts dagegen einzuwenden)
(2) [mm] \integral [/mm] (-x) dx= -x ln(-x) +x+c | :(-1)
=x ln (-x)-x+c
zu (2): Warum ln (-x), sicher hier wird versucht eine Fallunterscheidung zu machen, aber ln ist doch für negative zahlen nicht definiert und warum wird (-x) bei der division durch -1 nicht verändert? (vorzeichen bleibt gleich)
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Hallo Sansy90,
> Geben Sie alle Lösungen (mit Definitionsbereich) der DGL.
>
> Y''+ 1/x=0 an
>
> Welche Lösung erfüllt y(1)=0 und y'(1)=-2
> Habe die DGL wie folgt gelöst:
>
> Y'= - ln [mm]|x|+C_{1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Y= ...
>
> hier beginnt das Problem, in der Musterlösung wird eine
> Fallunterscheidung gemacht (wegen || )
Ja!
>
> [mm]\integral[/mm] ln|x| = [mm]\begin{cases} -xlnx+x+c_{2}+c_{1}x, & \mbox{für } x >0 \\
-xln(-x)+x+c_{2}+c_{1}x, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
> = [mm]-xln|x|+C_{o}x+c_{2}[/mm]
>
>
> und zwar setzt sich das scheinbar so zusammen:
>
> (1) [mm]\integral[/mm] lnx dx= x [mm]\cdot[/mm] lnx -x +c (ok, nichts dagegen einzuwenden)
Jo, partielle Integration: [mm]\int{\ln(x) \ dx}=\int{1\cdot{}\ln(x) \ dx}[/mm]
> (2) [mm]\integral[/mm] ln(-x) dx= -x ln(-x) +x+c | :(-1)
> =x ln (-x)-x+c
>
> zu (2): Warum ln (-x), sicher hier wird versucht eine
> Fallunterscheidung zu machen, aber ln ist doch für
> negative zahlen nicht definiert
Ja, darum ja, wenn [mm]x<0[/mm] ist, so ist [mm]-x>0[/mm], also ist für [mm]x<0[/mm] doch [mm]\ln(-x)[/mm] wohldefiniert!
> und warum wird (-x) bei der
> division durch -1 nicht verändert? (vorzeichen bleibt
> gleich)
Du meinst im Argument vom [mm]\ln[/mm] ?
Na, du multiplizierst doch den Term mit [mm]-1[/mm] und nicht das Argument:
Wenn du hast [mm]3x^2+2x+e^{-x}[/mm], so wird das doch bei Mult. mit [mm]-1[/mm] zu
[mm]-1\cdot{}(3x^2+2x+e^{-x})=-3x^2-2x-e^{-x}[/mm]
Das "berührt" das Funktionsargument nicht!
Gruß
schachuzipus
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