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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Sa 04.02.2006 | | Autor: | alexus |
| Aufgabe | Finden sie die Lösung des folgenden Systems von DGls:
3y1(t)+y2(t)-y3(t)+y4(t) =y1'(t)
y1(t)+3y2(t)+y3(t)-y4(t) =y2'(t)
-y1(t)+y2(t)+3y3(t)+y4(t)=y3'(t)
y1(t)-y2(t)+y3(t)+3y4(t) =y4'(t)
mit den Anfangsbedingungen
y1(0)=0, y2(0)=1, y3(0)=1, y4(0)=2 |
Hi
Diese Aufgabe soll ich lösen. Da ich keine Ahnung von DGL-Systemen habe, wollt ich wissen, wie man da vorgeht. Nimmt man jetzt auch einfach an, dass z.b. y1(t)=exp(at), y2(t)=exp(bt), y3(t)=exp(ct) und y4(t)=exp(dt)?
alexus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Sa 04.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo alexus
> Finden sie die Lösung des folgenden Systems von DGls:
>
> 3y1(t)+y2(t)-y3(t)+y4(t) =y1'(t)
> y1(t)+3y2(t)+y3(t)-y4(t) =y2'(t)
> -y1(t)+y2(t)+3y3(t)+y4(t)=y3'(t)
> y1(t)-y2(t)+y3(t)+3y4(t) =y4'(t)
>
> mit den Anfangsbedingungen
> y1(0)=0, y2(0)=1, y3(0)=1, y4(0)=2
> Hi
> Diese Aufgabe soll ich lösen. Da ich keine Ahnung von
> DGL-Systemen habe, wollt ich wissen, wie man da vorgeht.
Wieso kannst du so ne Aufgabe kriegen, wenn ihr so was nie gelernt habt?
> Nimmt man jetzt auch einfach an, dass z.b. y1(t)=exp(at),
> y2(t)=exp(bt), y3(t)=exp(ct) und y4(t)=exp(dt)?
Nein, so einfach ists nicht, du nimmst y,y' als Vektor, das Koeffizientenschema als Matrix und musst die Eigenwerte und eigenvektoren bestimmen.
Das alless hier vorzuführen, wär ein Lehrgang. Du musst also schon in nem Buch oder nem Skript aus dem Netz dich erst mal damit beschäftigen und dann Fragen stellen, wenn du was nicht kapierst.
Ich weiss nicht so genau was techn. Kybernetik ist, aber wahrscheinlich sollt ihr doch auch nicht einfach Rezepte lernen?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Sa 04.02.2006 | | Autor: | alexus |
Also, das Problem ist halt, dass ich die Aufgabe lösen muss und wir bisher noch nix über DGls hatten. Kann aber sein, dass das Thema noch drankommt, wir haben ja noch 2 Wochen Zeit die Aufgaben zu lösen. Also dein "Rezept"
könnt ich glaub schon anwenden. Wie man Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet weiß ich. Das Problem daran wäre wohl nur, dass ich keine Ahnung hätte, warum das, was ich mache überhaupt funktioniert.
alexus
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Hallo alexus,
Der Ansatz ist ähnlich:
[mm]\vec{y}(t)=\vec{c}*e^{\lambda t}[/mm]
Dann ist [mm]\vec{y}'(t)=\lambda\vec{c}*e^{\lambda t}[/mm] und wenn man das in die DGL einsetzt ergibt sich:
[mm]\lambda\vec{c}*e^{\lambda t}=A\vec{c}*e^{\lambda t}[/mm]
Und das gilt eben wenn
[mm]\lambda\vec{c}=A\vec{c}[/mm]
Also erhält man die Lösung indem man die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A ausrechnet.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 05.02.2006 | | Autor: | alexus |
Also die Eigenwerte der Matrix A hab ich schon berechnet, da kommt {0,4,4,4} raus. Mir ist auch klar, dass die Eigenwerte jetzt dem entsprechen müssen, was du [mm] \lambda [/mm] genannt hast, also muss nur noch der Vektor [mm] \vec{c} [/mm] bestimmt werden. Allerdings blick ich nicht, wozu man noch die Eigenvektoren brauch. Kann man nicht einfach die Anfangsbedingungen benutzen um [mm] \vec{c} [/mm] zu bestimmen?
alexus
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Hallo alexus,
Hast Du ein Paar Eigenwert ( [mm] \lambda_1 [/mm] ) Eigenvektor ( [mm] c_1 [/mm] ) gefunden dann ist [mm]\vec{y}(t)=a* \vec{c_1}*e^{\lambda_1 t}[/mm] eine Lsg. Du bekommst 4 solche Lösungen heraus und da jede Linearkombination dieser Lösungen die DGL löst bekommst Du also noch 4 Variable für die Anfangsbedingungen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:38 So 05.02.2006 | | Autor: | alexus |
So, habs jetzt so gerechnet wie du gesagt hasch und folgendes rausbekommen:
[mm] \vec{y}(t)=-1/2 \vektor{1\\-1\\1\\-1}+1/4 \vektor{1\\1\\0\\0}e^{4t}+3/4 \vektor{-1\\0\\1\\0}e^{4t}+3/4 \vektor{1\\0\\0\\1}e^{4t}
[/mm]
Die Vektoren sind jeweils die Eigenwerte und die Koeffizienten hab ich aus dem Gleichungssystem von den Anfangsbedingungen raus. Ich hoffe das passt jetzt.
alexus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Mi 08.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo alexus!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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