DGL-System: Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \dot{x}=-4x-6y+6e^{3t}
[/mm]
[mm] \dot{y}=3x+5y-3e^{3t}
[/mm]
[mm] \dot{z}=-3x-6y-z+9e^{3t}
[/mm]
[mm] x(0)=\bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] y(0)=\bruch{-3}{4}
[/mm]
[mm] z(0)=\bruch{9}{4} [/mm] |
Hallo,
Ich hab Probleme bei diesem AWP ich hab schon die Eigenwerte bestimmt: [mm] \lambda_{1}=2 [/mm]
[mm] \lambda_{2}=-1
[/mm]
und die Eigenvektoren:
[mm] EV_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] EV_{2}=\vektor{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
und die homogene Lösung:
[mm] y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ [/mm] C2 [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t}
[/mm]
Stimmt das bis jetzt?
Jetzt hab ich Probleme bei der partikulären Lösung, ich wäre von dem Ansatz [mm] y_{p}= \vektor{A \\ B \\ C} e^{t} [/mm] ausgegangen, nur häng ich jetzt. Ich weiss nicht wie ich da zu einer Form komme damit ich alle Störterme eliminiere und dann C ausrechne. Bei anderen DGL hab ich das schon geschafft, einfach ableiten, gleichsetzen, einsetzen, ausrechnen, nur hier geht das irgendwie nicht.
Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 20.10.2010 | | Autor: | wieschoo |
Für die homegene Gleichung betrachtest du die Matrix
[mm] \left( \begin {array}{ccc} -4&-6&0\\
3&5&0\\
-3&-6&-1\end {array} \right)[/mm]
mit dem charakteristischen Polynom: [mm]-2+\lambda^3-3\lambda[/mm]. Dabei tritt die -1 als doppelte Nullstelle auf. Das sollte auch im Ansatz berücksichtigt werden.
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Ja klar, hatte ich auch hier in meinen Rechnungen stehen und habs dann übersehen. Also müsste dann die homogene lauten:
$ [mm] y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ C2\vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t} [/mm] + t C3 [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t} [/mm] $
Oder?
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Hallo Wieselwiesel,
> Ja klar, hatte ich auch hier in meinen Rechnungen stehen
> und habs dann übersehen. Also müsste dann die homogene
> lauten:
>
> [mm]y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ C2\vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t} + t C3 \vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t}[/mm]
Der Vektor [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] ist kein Eigenvektor zum Eigenwert -1.
>
> Oder?
Nein, das stimmt nicht.
Berechne doch alle möglichen Vektoren v, die die Gleichung
[mm]\pmat{-4-\left(-1\right) & -6 & 0 \\ 3 & 5-\left(-1\right) & 0 \\ -3 & -6 & -1-\left(-1\right)
}*\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}[/mm]
erfüllen.
Gruss
MathePower
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Das wär ja dann
[mm] \pmat{ -3 & -6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0} [/mm]
da würde ich mit Gauss auf
[mm] \pmat{ -3 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
kommen, und das würde x=-2y ergeben daraus hätte ich eben dann den Vektor $ [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] $ berechnet. Was mach ich falsch?
Wie geht denn die Formel für die homogene wenn 2 verschiedene Nullstellen sind wovon eine doppelt ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 Do 21.10.2010 | | Autor: | Calli |
> ...
> kommen, und das würde x=-2y ergeben (was noch richtig ist) daraus hätte ich eben
> dann den Vektor [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm] berechnet. Was mach
> ich falsch?
Hallo,
wenn x=1 ist ,
was ergibt sich dann für y ???
Wähle x=2 !
Ciao Calli
PS: Den zweiten Eigenvektor zum Eigenwert -1 erhält man mit x=y=0 !
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Waaah! Natürlich ist der Eigenvektor dann
$ [mm] \vektor{1 \\ -\bruch{1}{2} \\ 0} [/mm] $
Boah, war echt spät gestern...
Aber wie kann ich mit dem Eigenwert -1 aus dem sich die Matrix $ [mm] \pmat{ -3 & -6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0} [/mm] $ ergibt dann mit x=y=0 rechnen? Das würde ja den nullvektor ergeben, der kann ja kein Eigenvektor sein...
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Hallo Wiesel,
> Waaah! Natürlich ist der Eigenvektor dann
> [mm]\vektor{1 \\
-\bruch{1}{2} \\
0}[/mm]
Ja, oder [mm]\vektor{2\\
-1\\
0}[/mm]
> Boah, war echt spät
> gestern...
>
> Aber wie kann ich mit dem Eigenwert -1 aus dem sich die
> Matrix [mm]\pmat{ -3 & -6 & 0 \\
3 & 6 & 0 \\
-3 & -6 & 0}[/mm]
> ergibt dann mit x=y=0 rechnen? Das würde ja den nullvektor
> ergeben, der kann ja kein Eigenvektor sein...
Bringe doch die Matrix in ZSF und berechne den Eigenraum zu [mm] $\lambda=-1$.
[/mm]
Das gibt [mm]\pmat{1&2&0\\
0&0&0\\
0&0&0}[/mm]. Mithin 2 frei wählbare Parameter
Wähle also [mm]z=t, t\in\IR[/mm] und [mm]y=s, s\in\IR[/mm]
Dann hast du mit Zeile1: [mm]x=-2y=-2s[/mm]
Also ist ein Lösungsvektor [mm]\vektor{x\\
y\\
z}[/mm] von der Gestalt [mm]\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{-2s\\
s\\
t}[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
[mm]=s\cdot{}\vektor{-2\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{0\\
0\\
1}[/mm]
Mit zB. [mm]s=-1[/mm] und [mm]t=1[/mm] hast du 2 linear unabh. Eigenvektoren [mm]\vektor{2\\
-1\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\
0\\
1}[/mm]
Daher das [mm]x=y=0[/mm]
Gruß
schachuzipus
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ooooh, danke! Ist ja klar! Mann ich sollte ein bisschen genauer sein...
Also ist die homogene Lösung:
$ [mm] y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+ [/mm] C2 [mm] \vektor{1 \\ - \bruch{1}{2} \\ 0} [/mm] t [mm] e^{-t}+ [/mm] C3 [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] t [mm] e^{-t} [/mm] $
Oder?
Und wie gehts dann mit der partikulären Lösung weiter?
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Hallo nochmal,
> ooooh, danke! Ist ja klar! Mann ich sollte ein bisschen
> genauer sein...
>
> Also ist die homogene Lösung:
> [mm]y_{h}=C1 \vektor{1 \\
-1 \\
1} e^{2t}+ C2 \vektor{1 \\
- \bruch{1}{2} \\
0} t e^{-t}+ C3 \vektor{0 \\
0 \\
1} t e^{-t} [/mm]
Da ist ein [mm]t[/mm] zuviel. Und setze die Indizes doch schöner mit dem Unterstrich _ , also c_1für [mm]c_1[/mm]
Richtig: [mm]y_h=c_1\vektor{1\\
-1\\
1}e^{2t}+c_2\underbrace{\vektor{2\\
-1\\
0}}_{\text{zum schöneren Weiterrechnen}}e^{-t}+c_3\vektor{0\\
0\\
1}te^{-t}[/mm]
>
> Oder?
>
> Und wie gehts dann mit der partikulären Lösung weiter?
Hmm. Variation der Konstanten?
Gruß
schachuzipus
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Danke! Gut jetzt hab ich das was ich eigentlich schon beim schreiben des Forumseintrags hätte haben sollen, die homogene Lösung. Mein Problem ist eben da den Ansatz anzuwenden, weil ich das schon mit DGL ohne Vektorform gemacht hab, aber hier weiss ich nicht wie ich anfange und wie das in einem DGL System mit den verschiedenen Störthermen ist.
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Hallo Wieselwiesel,
> Danke! Gut jetzt hab ich das was ich eigentlich schon beim
> schreiben des Forumseintrags hätte haben sollen, die
> homogene Lösung. Mein Problem ist eben da den Ansatz
> anzuwenden, weil ich das schon mit DGL ohne Vektorform
> gemacht hab, aber hier weiss ich nicht wie ich anfange und
> wie das in einem DGL System mit den verschiedenen
> Störthermen ist.
Da der Störtherm ein konstantes Polynom in Verbindung mit einer Exponentialfunktion ist, kannst Du auch so ansetzen, falls dieser
Störtherm oder ein Teil von diesem nicht zugleich Lösung des
homogenen DGL-Systems ist.
Demach setze hier so an:
[mm]y_{p}\left(t\right)=\overrightarrow{a}*e^{3*t}=\pmat{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}*e^{3*t}[/mm]
Setze diesen Ansatz in das inhomogene DGL-System ein,
und Du erhältst ein Gleichungssystem für die Unbekannten [mm]a_{k}, \ k=1,2,3[/mm].
Gruss
MathePower
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Hallo Wieselwiesel,
> [mm]\dot{x}=-4x-6y+6e^{3t}[/mm]
> [mm]\dot{y}=3x+5y-3e^{3t}[/mm]
> [mm]\dot{z}=-3x-6y-z+9e^{3t}[/mm]
>
> [mm]x(0)=\bruch{5}{2}[/mm]
> [mm]y(0)=\bruch{-3}{4}[/mm]
> [mm]z(0)=\bruch{9}{4}[/mm]
> Hallo,
>
> Ich hab Probleme bei diesem AWP ich hab schon die
> Eigenwerte bestimmt: [mm]\lambda_{1}=2[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-1[/mm]
> und die Eigenvektoren:
> [mm]EV_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> [mm]EV_{2}=\vektor{1 \\ -2 \\ 0}[/mm]
-1 ist doch doppelter Eigenwert, daher benötigst Du noch einen Eigenvektor
zu diesem Eigenwert.
Die 2 gefundenen Eigenvektoren stimmen.
>
> und die homogene Lösung:
> [mm]y_{h}=C1 \vektor{1 \\ -1 \\ 1} e^{2t}+[/mm] C2 [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 0} e^{-t}[/mm]
>
> Stimmt das bis jetzt?
>
> Jetzt hab ich Probleme bei der partikulären Lösung, ich
> wäre von dem Ansatz [mm]y_{p}= \vektor{A \\ B \\ C} e^{t}[/mm]
> ausgegangen, nur häng ich jetzt. Ich weiss nicht wie ich
> da zu einer Form komme damit ich alle Störterme eliminiere
> und dann C ausrechne. Bei anderen DGL hab ich das schon
> geschafft, einfach ableiten, gleichsetzen, einsetzen,
> ausrechnen, nur hier geht das irgendwie nicht.
>
> Kann mir jemand helfen?
Gruss
MathePower
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