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| Aufgabe | Gegeben sind n+1 Messpunkte [mm] Q_{k} (Q_{0},...,Q_{n}). [/mm] Gesucht ist die B-Spline-Kurve p-ter Ordnung mit h+1 Kontrollpunkte [mm] P_{i} (P_{0},...,P_{h}), [/mm] die die Punktmenge am besten approximiert. Es gilt: n>h und h>=p>=1. Bedingung:
-Kurve enthält den ersten und letzten Messpunkt d.h. [mm] Q_{0}=C(0) [/mm] und [mm] Q_{n}=C(1).
[/mm]
-Kurve wird im Sinne der kleinsten Quadrate angenähert |
Hallo Forum,
bei der Aufgabe bzw. dem Lösungsweg habe ich folgendes Verständnis-Problem. Vorweg erst einmal die Definition der Kurve:
[mm] C(t)=\summe_{i=0}^{h}N_{i,p}(t)*P_{i}
[/mm]
1. letzter und erster Kurvenpunkt werden interpoliert (siehe Aufgabenstellung)
2. Die anderen Punkte werden wie folgt berechnet:
[mm] f(P_{1},...,P_{h-1})=\summe_{k=1}^{n-1}|Q_{k}-C(t_{k})|^2
[/mm]
dann setzt man:
[mm] R_{k}= Q_{k}-N_{0,p}(t_{k})*Q_{0}-N_{h,p}(t_{k})*Q_{n}
[/mm]
dann folgt nach einsetzen:
[mm] f(P_{1},...,P_{h-1})=\summe_{k=1}^{n-1}[R_{k}*R_{k}-2*(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i}*Q_{k})+(summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})*(summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})]
[/mm]
Um die Funktion jetzt zu minimieren, muss ich ja die partiellen Aleitungen nach den Unbekannten bilden, d.h. nach [mm] P_{i}.
[/mm]
Und da liegt jetzt mein Problem!
Hier steht nämlich irgendetwas davon, dass die Funktion f() eigentlich ein elliptisches Paraboloid in den Variablen [mm] P_{1},...,P_{h-1}ist. [/mm] Und das man deshalb f() für jedes [mm] P_{g} [/mm] unterscheiden kann und die gemeinsamen Nullstellen finden kann.
Ich verstehe diese Aussage nicht, ich hätte jetzt die partiellen Ableitung nach [mm] P_{k} [/mm] gebildet. Aber das geht ja anscheind nicht. Warum?
Vielleicht findet sich ja jemand, der mir da helfen kann. Wäre ganz nett.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Sa 18.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sind n+1 Messpunkte [mm]Q_{k} (Q_{0},...,Q_{n}).[/mm]
> Gesucht ist die B-Spline-Kurve p-ter Ordnung mit h+1
> Kontrollpunkte [mm]P_{i} (P_{0},...,P_{h}),[/mm] die die Punktmenge
> am besten approximiert. Es gilt: n>h und h>=p>=1.
> Bedingung:
> -Kurve enthält den ersten und letzten Messpunkt d.h.
> [mm]Q_{0}=C(0)[/mm] und [mm]Q_{n}=C(1).[/mm]
> -Kurve wird im Sinne der kleinsten Quadrate angenähert
> Hallo Forum,
>
> bei der Aufgabe bzw. dem Lösungsweg habe ich folgendes
> Verständnis-Problem. Vorweg erst einmal die Definition der
> Kurve:
> [mm]C(t)=\summe_{i=0}^{h}N_{i,p}(t)*P_{i}[/mm]
>
> 1. letzter und erster Kurvenpunkt werden interpoliert
> (siehe Aufgabenstellung)
> 2. Die anderen Punkte werden wie folgt berechnet:
> [mm]f(P_{1},...,P_{h-1})=\summe_{k=1}^{n-1}|Q_{k}-C(t_{k})|^2[/mm]
>
> dann setzt man:
> [mm]R_{k}= Q_{k}-N_{0,p}(t_{k})*Q_{0}-N_{h,p}(t_{k})*Q_{n}[/mm]
>
> dann folgt nach einsetzen:
>
> [mm]f(P_{1},...,P_{h-1})=\summe_{k=1}^{n-1}[R_{k}*R_{k}-2*(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i}*Q_{k})+(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})*(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})][/mm]
>
> Um die Funktion jetzt zu minimieren, muss ich ja die
> partiellen Aleitungen nach den Unbekannten bilden, d.h.
> nach [mm]P_{i}.[/mm]
> Und da liegt jetzt mein Problem!
> Hier steht nämlich irgendetwas davon, dass die Funktion
> f() eigentlich ein elliptisches Paraboloid in den Variablen
> [mm]P_{1},...,P_{h-1}ist.[/mm] Und das man deshalb f() für jedes
> [mm]P_{g}[/mm] unterscheiden kann und die gemeinsamen Nullstellen
> finden kann.
> Ich verstehe diese Aussage nicht, ich hätte jetzt die
> partiellen Ableitung nach [mm]P_{k}[/mm] gebildet. Aber das geht ja
> anscheind nicht. Warum?
Doch, das geht schon, aber es ist - wegen der recht einfachen Abhängigkeit der Funktion f von ihren Argumenten - nicht nötig.
Wenn du die Summen ein bischen umordnest:
[mm] f(P_{1},...,P_{h-1})= \summe_{k=1}^{n-1}R_{k}*R_{k} [/mm]
[mm] -2\summe_{i=1}^{h-1} \left(\summe_{k=1}^{n-1}N_{i,p}(t_{k})*Q_{k}\right)*P_{i}[/mm]
[mm] +\summe_{i=1}^{h-1}\summe_{j=1}^{h-1}P_{i} \left(\summe_{k=1}^{n-1}N_{i,p}(t_{k})*N_{j,p}(t_{k})\right)*P_{j}[/mm],
dann siehst du, dass du die Funktion auch mit Hilfe des Vektors [mm] $\mathbf{P} [/mm] = [mm] \vektor{P_{1}\\\vdots\\P_{h-1}}$ [/mm] schreiben kannst:
[mm] f(\mathbf{P}) = c - 2 *\mathbf{B}^T*\mathbf{P} + \mathbf{P}^T*\mathbf{A}*\mathbf{P} \qquad[/mm],
und deren Minimum ist dann einfach die Lösung von
[mm] \mathbf{A}*\mathbf{P} = \mathbf{B} [/mm]
(Nebenbei: die [mm] $Q_k$ [/mm] kommen nur in [mm] $\mathbf{B}$ [/mm] vor, und zwar linear.)
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
ich habe gerade entdeckt, dass ich einen Fehler gemacht habe. Das eine [mm] Q_{k} [/mm] muss natürlich auch noch durch [mm] R_{k} [/mm] ersetzt werden.
Also kann ich nach [mm] P_{k} [/mm] ableiten und muss nicht [mm] P_{g} [/mm] einführen? Hab schon überlegt, ob das einfach heißt, dass ich sozusagen den g-ten Punkt P von gesamten Punkten [mm] P_{i} [/mm] ableite. Aber das sagt ja auch k.
Wie du merkst habe ich das noch nicht ganz so verstanden.
Also, A wäre die Modellmatrix, P der Vektor der Unbekannten und B=?
Ich hab das nämlich eine etwas andere Lösung gefunden:
[mm] (A^T*A)*P=B [/mm] (wobei mir dennoch nicht klar ist, was B ist).
Vielleicht kannst du mir dabei noch etwas helfen?
Gruß und schönen Sonntag noch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Mo 20.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> ich habe gerade entdeckt, dass ich einen Fehler gemacht
> habe. Das eine [mm]Q_{k}[/mm] muss natürlich auch noch durch [mm]R_{k}[/mm]
> ersetzt werden.
> Also kann ich nach [mm]P_{k}[/mm] ableiten und muss nicht [mm]P_{g}[/mm]
> einführen? Hab schon überlegt, ob das einfach heißt, dass
> ich sozusagen den g-ten Punkt P von gesamten Punkten [mm]P_{i}[/mm]
> ableite. Aber das sagt ja auch k.
Berim Ableiten muss du die Indizes schon sauber unterscheiden. Du hast doch für die Funktion f die Form
[mm] f(P_1,\dots,P_{h-1}) = c -2\summe_{i=1}^{h-1} b_i \cdot P_{i} + \summe_{i=1}^{h-1}\summe_{j=1}^{h-1}P_{i} \cdot a_{ij}\cdot{}P_{j} [/mm].
Dabei ist [mm] $a_{ij} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n-1}N_{i,p}(t_{k})\cdot{}N_{j,p}(t_{k})$ [/mm] und [mm] $b_i [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n-1}N_{i,p}(t_{k})\cdot{}R_k$.
[/mm]
Wenn du das nach [mm] $P_g$ [/mm] ableitest, bleibt von der zweiten Summe nur der Term übrig, bei dem i = g ist. Bei der Doppelsumme musst du die Fälle i=j und [mm] $i\not=j$ [/mm] unterscheiden, daher gibt es drei Terme: (a) i=g, [mm] $j\not=g$, [/mm] (b) [mm] $i\not=g$, [/mm] j=g und (c) i=j=g. Da [mm] $a_{ij}$ [/mm] symmetrisch ist, fallen (a) und (b) zusammen, sodass folgendes übrigbleibt:
[mm] \bruch{\partial f(P_1,\dots,P_{h-1})}{P_g} = - 2 b_g +2 \summe_{i=1}^{h-1} P_i a_{ig} [/mm].
> Wie du merkst habe ich das noch nicht ganz so verstanden.
> Also, A wäre die Modellmatrix, P der Vektor der
> Unbekannten und B=?
Siehe oben.
> Ich hab das nämlich eine etwas andere Lösung gefunden:
> [mm](A^T*A)*P=B[/mm] (wobei mir dennoch nicht klar ist, was B
> ist).
Hier ist dein A ein anderes als meines; dein A ist die Matrix der [mm] $a_{ik}=N_{i,p}(t_{k})$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hi Rainer,
also ganz habe ich das immer noch nicht verstanden.
Ich verstehe auch zum Teil deine Formel nicht, weil da plötzlich [mm] P_{j} [/mm] auftaucht, was ich garnicht habe.
Ich versuche es nochmal soweit zu erklären, wie ich es verstanden habe und dann kannst du mir vielleicht sagen, ob es korrekt ist oder nicht?
Erst mal zu den Matrizen, über das andere muss ich nochmal nachdenken.
Folgende Gleichung habe ich:
[mm] f(P_{1},...,P_{h-1})=\summe_{k=1}^{n-1}[R_{k}*R_{k}-2*(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i}*R_{k})+(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})*(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})] [/mm]
Jetzt leite ich nach den unbekannten Kontrollpunkten ab, d.h.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial P_{g}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n-1}(-2*N_{g,p}(t_{k})*R_{k} [/mm] + [mm] 2*N_{g,p}(t_{k})*\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})
[/mm]
dann erhält man:
[mm] \summe_{i=1}^{h-1}(\summe_{k=1}^{n-1}N_{g,p}(t_{k})*N_{i,p}(t_{k}))*P_{i}=\summe_{k=1}^{n-1}N_{g,p}(t_{k})*R_{k})
[/mm]
Und die Matrizen:
[mm] N=\pmat{ N_{1,p}(t_{1}) & \ldots & N_{h-1,p}(t_{h-1}) \\ \vdots & \ldots & \vdots }
[/mm]
[mm] R=\pmat{ N_{1,p}(t_{1})*Q_{1}& \ldots & N_{h-1,p}(t_{n-1})*Q_{n-1} \\ \vdots & \ldots & \vdots }
[/mm]
[mm] P=\vektor{P_{1} \\\vdots}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] (N^T*N)*P=R
[/mm]
P ist also der Unbekanntenvektor
R der Beobachtungsvektor
N dachte ich die Designmatrix, aber bin mir absolut nicht sicher.
So, über die Ableitung nach g muss ich mir noch mal gedanken machen.
Später. Vielleicht kannst du mir sagen wie N heißt, und ob das andere richtig ist?
Vielen Dank schon mal für die bisherige Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Di 21.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi Rainer,
> also ganz habe ich das immer noch nicht verstanden.
> Ich verstehe auch zum Teil deine Formel nicht, weil da
> plötzlich [mm]P_{j}[/mm] auftaucht, was ich garnicht habe.
Ich habe nur in einer Summe den Summationsindex i durch j ersetzt, damit ich die Summationen beliebig vertauschen kann.
> Ich versuche es nochmal soweit zu erklären, wie ich es
> verstanden habe und dann kannst du mir vielleicht sagen, ob
> es korrekt ist oder nicht?
>
> Erst mal zu den Matrizen, über das andere muss ich nochmal
> nachdenken.
> Folgende Gleichung habe ich:
>
> [mm]f(P_{1},...,P_{h-1})=\summe_{k=1}^{n-1}[R_{k}*R_{k}-2*(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i}*R_{k})+(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})*(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})][/mm]
>
> Jetzt leite ich nach den unbekannten Kontrollpunkten ab,
> d.h.
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial P_{g}} = \summe_{k=1}^{n-1}(-2*N_{g,p}(t_{k})*R_{k} + 2*N_{g,p}(t_{k})*\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})[/mm]
>
> dann erhält man:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{h-1}(\summe_{k=1}^{n-1}N_{g,p}(t_{k})*N_{i,p}(t_{k}))*P_{i}=\summe_{k=1}^{n-1}N_{g,p}(t_{k})*R_{k})[/mm]
>
> Und die Matrizen:
>
> [mm]N=\pmat{ N_{1,p}(t_{1}) & \ldots & N_{h-1,p}(t_{h-1}) \\ \vdots & \ldots & \vdots }[/mm]
Eher so:
[mm]N=\pmat{ N_{1,p}(t_{1}) & \ldots & N_{h-1,p}(t_{\red{1}}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ N_{1,p}(t_{h-1}) & \ldots & N_{h-1,p}(t_{h-1})}[/mm]
>
> [mm]R=\pmat{ N_{1,p}(t_{1})*Q_{1}& \ldots & N_{h-1,p}(t_{n-1})*Q_{n-1} \\ \vdots & \ldots & \vdots }[/mm]
Hmm in deinem Gleichungssystem stehen aber die [mm] $R_k$, [/mm] nicht die [mm] $Q_k$.
[/mm]
> [mm]P=\vektor{P_{1} \\\vdots}[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> [mm](N^T*N)*P=R[/mm]
Genauso. In meiner Notation wäre [mm] $A=N^T*N$, [/mm] und R hatte ich B genannt.
> P ist also der Unbekanntenvektor
> R der Beobachtungsvektor
> N dachte ich die Designmatrix, aber bin mir absolut nicht
> sicher.
Schau doch die Definition der Designmatrix nach! (Ich bin mir auch nicht sicher  )
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
> > [mm]R=\pmat{ N_{1,p}(t_{1})*Q_{1}& \ldots & N_{h-1,p}(t_{n-1})*Q_{n-1} \\ \vdots & \ldots & \vdots }[/mm]
>
> Hmm in deinem Gleichungssystem stehen aber die [mm]R_k[/mm], nicht
> die [mm]Q_k[/mm].
>
uupps, ja da hat sich wieder ein Fehler eingeschlichen. Heißt natürlich [mm]R_k[/mm].
>
> Schau doch die Definition der Designmatrix nach! (Ich bin
> mir auch nicht sicher )
MMh mit [mm] A=N^T*N [/mm] habe ich noch nie gerechnet. Da muss ich aber noch mal nachschauen. Ich kenne nur [mm] N=A^T*A [/mm] und A wäre dann die Designmatrix und N die Normalgleichungsmatrix. In A stehen die Partiellen Ableitungen der Beobachtungen nach den Unbekannten. Könnte vielleicht sein, dass die Buchstaben nur vertauscht sind.
Erstmal vielen Dank.
Grüße
Blümchen
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