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| Aufgabe | Gegeben sind n+1 Messpunkte [mm] Q_{k} (Q_{0},...,Q_{n}). [/mm] Gesucht ist die B-Spline-Kurve p-ter Ordnung mit h+1 Kontrollpunkte [mm] P_{i} (P_{0},...,P_{h}), [/mm] die die Punktmenge am besten approximiert. Es gilt: n>h und h>=p>=1. Bedingung:
-Kurve enthält den ersten und letzten Messpunkt d.h. [mm] Q_{0} [/mm] = C(0) und [mm] Q_{n}=C(1).
[/mm]
-Kurve wird im Sinne der kleinsten Quadrate angenähert |
Hallo Forum,
bei der Aufgabe bzw. dem Lösungsweg habe ich folgendes Verständnis-Problem. Vorweg erst einmal die Definition der Kurve:
[mm] C(t)=\summe_{i=0}^{h}N_{i,p}(t)*P_{i}
[/mm]
1. letzter und erster Kurvenpunkt werden interpoliert (siehe Aufgabenstellung)
2. Die anderen Punkte werden wie folgt berechnet:
[mm] f(P_{1},...,P_{h-1})=\summe_{k=1}^{n-1}|Q_{k}-C(t_{k})|^2
[/mm]
dann setzt man:
[mm] R_{k}= Q_{k}-N_{0,p}(t_{k})*Q_{0}-N_{h,p}(t_{k})*Q_{n}
[/mm]
dann folgt nach einsetzen:
[mm] f(P_{1},...,P_{h-1})=\summe_{k=1}^{n-1}[Q_{k}*Q_{k}-2(\summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i}*Q_{k})+(summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})*(summe_{i=1}^{h-1}N_{i,p}(t_{k})*P_{i})]
[/mm]
Um die Funktion jetzt zu minimieren, muss ich ja die partiellen Aleitungen nach den Unbekannten bilden, d.h. nach [mm] P_{i}.
[/mm]
Und da liegt jetzt mein Problem!
Hier steht nämlich irgendetwas davon, dass die Funktion f() eigentlich ein elliptisches Paraboloid in den Variablen [mm] P_{1},...,P_{h-1}ist. [/mm] Und das man deshalb f() für jedes [mm] P_{g} [/mm] unterscheiden kann und die gemeinsamen Nullstellen finden kann.
Ich verstehe diese Aussage nicht, ich hätte jetzt die partiellen Ableitung nach [mm] P_{k} [/mm] gebildet. Aber das geht ja anscheind nicht. Warum?
Vielleicht findet sich ja jemand, der mir da helfen kann. Wäre ganz nett.
Gruß
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Uppps,
die Frage ist ja zweimal drin. Diese kann gelöscht werden! Danke
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