Cosinus oder Sinusfunktion mit Hilfe von e-Funktion darstellen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 25.08.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo,
ich habe ein kleines, hoffentlich nicht allzuschweres Problem, auf welches ich keine Lösung weiß:
Wie kann man eine Funktion der Form cos(wt) mit Hilfe der e-Funktion darstellen? Im Repetorium und im Internet findet man nur Antworten wie man cos(x)+isin(x) als e-Funktion darstellt. Ich möchte aber nur eine Cosinusförmige Schwingung als e-Funktion darstellen.
Bitte gebt mir auch den Lösungsweg an, danke.
MfG Magician.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 25.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi magican
du hast bestimmt gelesen, dass
[m] \exp(i\omega t) = \cos(\omega t) + i \sin(\omega t) [/m]
probiere einfach mal den ausdruck
[m] \exp(i \omega t) + \exp( - i \omega t) [/m]
zu berechnen und dabei die symmetrieeigenschaften von [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] auszunutzen (z.b. [mm] $\sin(-t) [/mm] = - [mm] \sin(t)$). [/mm] nach einer skalierung mit [m] \frac{1}{2} [/m] sollte sich das von dir gewünschte ergebnis einstellen.
grüße
andreas
ps in machen fällen wird such der cosinus auf diese art und weise (analytisch) definiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 25.08.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo,
vielen dank für deine schnelle Antwort. Also wenn ich exp(iwt)+exp(-iwt) nehme so habe ich laut der Regel exp(iwt)=cos(wt)+isin(wt) und den Symmetrieeigenschaften von cos und sin welche wie folgt aussehen, sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x), exp(iwt)+exp(-iwt)=cos(wt)+isin(wt)+cos(-wt)+isin(-wt)=cos(wt)+isin(wt)+cos(wt)-isin(wt)=2cos(wt) damit erhalte ich für cos(wt)=1/2(exp(iwt)+exp(-iwt)). Dann wäre sin(wt)=1/2(exp(iwt)-exp(-iwt)). Damit danke ich dir herzlich für deine Antwort.
MfG Magician.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 25.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Magician
das stimmt fast, bis auf ein $i$, dass du bei [mm] $\sin$ [/mm] im nenner vergessen hast:
[m] \sin (\omega x) = \dfrac{e^{i\omega x} - e^{-i \omega x}}{2i} [/m]
grüße
andreas
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