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Hallo,
ich habe eine Grundsätzliche Frage,
wieso, wie (am besten) lässt sich z.B. der Cosinus durch Polynome approximieren?
was ist die beste Funktion für die Approximation?
Gruss
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo splitshade!
Aus der Analysis ist ja bekannt, dass eine analytische Funktion $f$ (wie etwas [mm] $f(x)=\cos(x)$) [/mm] durch eine Potenzreihe
$f(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1(x-x_0) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n(x-x_0)^n [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
dargestellt werden kann, die innerhalb eines gewissen Konvergenzintervalls gleichmäßig gegen die Funktion $f$ konvergiert.
Betrachtet man die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] der Teilsummen dieser Potenzreihe, also
[mm] $s_n(x) [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 (x-x_0) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_n(x-x_0)^n$,
[/mm]
so heißt das, dass es für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] eine Zahl [mm] $N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] existiert, so dass
[mm] $\Vert [/mm] f - [mm] s_n \Vert_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für jedes $n>N$ gilt. Es gibt also in anderen Worten stets Polynome, die eine analytische Funktion in einem gewissen Intervall beliebig genau gleichmäßig approximieren.
Dies gilt -und das ist auf den ersten Blick vielleicht erstaunlich- auch für stetige Funktionen auf kompakten Intervallen. Es gilt der sogenannte
Approximationssatz von Weierstraß
Gegeben sei eine beliebige stetige Funktion $f [mm] \in [/mm] C([a,b])$, [mm] $-\infty [/mm] < a < b < [mm] +\infty$. [/mm] Dann gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] und ein Polynom $p [mm] \in \Pi_n$, [/mm] so dass
[mm] $\Vert [/mm] f - p [mm] \Vert_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
ist.
Man kann zeigen, dass für $[a,b]:=[0,1]$ die Bernstein-Polynome
[mm] $(B_n [/mm] f)(x):= [mm] \sum\limits_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k (1-x)^{n-k}$
[/mm]
dies leisten.
> was ist die beste Funktion für die Approximation?
Hier muss du dich zunächst zwei Dinge fragen:
1) Beste Appromimation bezüglich welcher Norm?
2) Beste Approximation worin?
Denn die beste Approximation der Funktion ist die Funktion selbst.  Du musst dich schon vorher fragen, welche Eigenschaften die Approximanden haben sollen...
Viele Grüße
Julius
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