Computerproblem < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Fr 05.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Ein Computer gibt zufällig und unabhängig voneinander jeden Tag [mm] n\in\IN [/mm] einen Buchstaben aus dem lateinischen Alphabet A aus.
Sei [mm] (X_i)_{i\in\IN} [/mm] das entstandene (unendlich lange) Wort, also eine Folge von Zufallsvariablen mit Werten in A, wobei [mm] P(X_1=\eta)=\bruch{1}{26} [/mm] für alle [mm] \eta\in [/mm] A ist.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt Ihr Vorname [mm] \infty-oft [/mm] in diesem Wort vor? Als Beispiel sei der Vorname Benni vorgegeben. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Halle MatheRaum-Team,
bei obiger Aufgabe fehlt mir völlig der Ansatz und ich wäre dankbar um jeden Tipp. Ich mein es wird ja wohl nicht so einfach sein und die Lösung ist [mm] P("BENNI")^{\infty}=[(\bruch{1}{26})^5]^{\infty} [/mm] oder?!
Besten Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Fr 05.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Computer gibt zufällig und unabhängig voneinander jeden
> Tag [mm]n\in\IN[/mm] einen Buchstaben aus dem lateinischen Alphabet
> A aus.
> Sei [mm](X_i)_{i\in\IN}[/mm] das entstandene (unendlich lange)
> Wort, also eine Folge von Zufallsvariablen mit Werten in A,
> wobei [mm]P(X_1=\eta)=\bruch{1}{26}[/mm] für alle [mm]\eta\in[/mm] A ist.
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt Ihr Vorname
> [mm]\infty-oft[/mm] in diesem Wort vor? Als Beispiel sei der Vorname
> Benni vorgegeben.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Halle MatheRaum-Team,
> bei obiger Aufgabe fehlt mir völlig der Ansatz und ich
> wäre dankbar um jeden Tipp. Ich mein es wird ja wohl nicht
> so einfach sein und die Lösung ist
> [mm]P("BENNI")^{\infty}=[(\bruch{1}{26})^5]^{\infty}[/mm] oder?!
> Besten Dank schon mal.
Hallo,
Mach es mal nicht so schwer. Nimm zunächst an, dein Vorname besteht nur aus einem Buchstaben: z.B. dein Name ist "B".
Wie wahrscheinlich ist es, dass er unendlich oft vorkommt?
(Gegenereignis: ab einer bestimmten Zahl n kommt er nicht mehr vor.)
Danach darfst du dich in "Be" umtaufen lassen und darüber nachdenken, wie wahrscheinlich es ist, dass ab einem bestimmten B nie wieder ein "e" folgt...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Sa 06.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay also sei A:={B kommt n-mal im Wort [mm] (X_i)_{i\in\IN} [/mm] vor}.
Dann gilt doch: [mm] P(A)=(\bruch{1}{26})^n [/mm] sowie [mm] \lim_{n \to \infty} P(A)=\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{26^n}=0 [/mm] d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass B unendlich oft im entstanden Wort vorkommt ist Null.
Ist das so richtig oder bin ich da auf dem Holzweg? Wär klasse, wenn man mir nochmal etwas auf die Sprünge helfen könnte. Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 06.06.2009 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Okay also sei A:={B kommt n-mal im Wort [mm](X_i)_{i\in\IN}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> vor}.
> Dann gilt doch: [mm]P(A)=(\bruch{1}{26})^n[/mm] sowie [mm]\lim_{n \to \infty} P(A)=\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{26^n}=0[/mm]
> d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass B unendlich oft im
> entstanden Wort vorkommt ist Null.
Im Gegenteil. Es ist sicher, dass B unendlich oft vorkommt.
Du hast meinen Hinweis zum Gegenereignis nicht beachtet. Dass ein Buchstabe NICHT B ist, hat die Wahrscheinlichkeit 25/26.
Bei nur endlich vielen B's würde B irgendwann (und dann unendlich oft) nicht mehr vorkommen, die Wahrscheinlichkeit dafür ist [mm] (25/26)^\infty [/mm] =0.
Gruß Abakus
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> Ist das so richtig oder bin ich da auf dem Holzweg? Wär
> klasse, wenn man mir nochmal etwas auf die Sprünge helfen
> könnte. Vielen Dank schon mal.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 06.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay danke das leuchtet mir jetzt ein. Wie siehts dann aus, wenn ich mich habe umtaufen lassen also sei A':={Be kommt unendlich oft im Wort [mm] (X_i)_{i\in\IN} [/mm] vor}.
Dann gilt: [mm] P(A')=1-(\bruch{1}{26^2})^k*(\bruch{25}{26})^\infty=1 [/mm] wobei [mm] k\in\{1,...,m\} [/mm] mit {1,...,m} endlich.
Ist das so nun richtig oder liege ich wieder falsch?
Und kommt denn nicht jede beliebige Buchstabenkombination unendlich oft im Wort [mm] (X_i)_{i\in\IN} [/mm] vor?
Schon mal Danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 06.06.2009 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Okay danke das leuchtet mir jetzt ein. Wie siehts dann aus,
> wenn ich mich habe umtaufen lassen also sei A':={Be kommt
> unendlich oft im Wort [mm](X_i)_{i\in\IN}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
vor}.
> Dann gilt:
> [mm]P(A')=1-(\bruch{1}{26^2})^k*(\bruch{25}{26})^\infty=0[/mm] wobei
> [mm]k\in\{1,...,m\}[/mm] mit {1,...,m} endlich.
>
> Ist das so nun richtig oder liege ich wieder falsch?
> Und kommt denn nicht jede beliebige Buchstabenkombination
> unendlich oft im Wort [mm](X_i)_{i\in\IN}[/mm] vor?
> Schon mal Danke für die Hilfe.
Hallo,
wir wissen jetzt, dass "B" unendlich oft vorkommt. Jede der unendlich vielen Positionen eines vorkommenden B hat eine nachfolgende Position, die entweder ein "e" enthält oder nicht.
Mit der gleichen Überlegung wie vorhin ist es sicher, dass es auf diesen unendlich vielen Nachfolgepositionen unendlich oft das "e" gibt (weil die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwann keins mehr kommt gegen Null geht).
Damit kannst du induktiv beweisen, dass jede beliebige Buchstabenfolge der Länge n unendlich oft vorkommt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 06.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay verstehe gut ist auch irgendwie klar, wenn man sich das mal überlegt. Nur wie setze ich meine Induktion hier an? Ich meine das ist nicht gerade eine "alltägliche" Induktion, die hier zum Beweis herangezogen wird. Wie könnte hier die Beweisidee aussehen? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Sa 06.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Okay verstehe gut ist auch irgendwie klar, wenn man sich
> das mal überlegt. Nur wie setze ich meine Induktion hier
> an? Ich meine das ist nicht gerade eine "alltägliche"
> Induktion, die hier zum Beweis herangezogen wird. Wie
> könnte hier die Beweisidee aussehen? Vielen Dank.
Induktionsanfang: Ein Buchstabe kommt unendlich oft vor (haben wir gezeigt).
Induktionsvoraussetzung: Eine Buchstabenfolge der Länge n kommt unendlich oft vor.
Induktionsbehauptung: Eine Buchstabenfolge der Länge n+1 (Folge der Länge n mit einem weiteren Nachfolgebustaben) kommt unendlich oft vor. (Haben wir schon sinngemäß mit "B" und "Be" gemacht, muss nur allgemein formuliert werden).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Sa 06.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay ich denke das krieg ich dann allein hin. Ich dank dir.
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