Cobb Douglas Fkt maximieren < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe folgende Funnktion:
[mm] pt*(N^a [/mm] *K^(1-a) )-wt*Nt-rt*Kt
Diese möchte ich nach N differenieren:
a*N^(a-1) *pt*K^(1-a) - wt =0
Das soll nun nach N umgeformt werden. Das Ergenis ist:
N= ( [mm] \bruch{a}{\bruch{wt}{pt}} )^\bruch{1}{1-a} [/mm] * Kt
Ich komme aber nicht von meiner Ableitung auf dieses Ergebnis.
Könnte mir da jdm die Zwischenschritte erklären?
Vielen Dank schonmal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 20.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo
> ich habe folgende Funnktion:
>
> [mm]pt*(N^a[/mm] *K^(1-a) )-wt*Nt-rt*Kt
[mm] f(N):=ptN^{a}*K^{1-a}-wtNt-rtKt
[/mm]
ist äquivalent zu
[mm] f(N):=ptN^{a}*K^{1-a}-wt^2N-rtKt.
[/mm]
> Diese möchte ich nach N differenieren:
>
> a*N^(a-1) *pt*K^(1-a) - wt =0
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wir erhalten für die Ableitung
[mm] f'(N)=ptaN^{a-1}*K^{1-a}-wt^2.
[/mm]
> Das soll nun nach N umgeformt werden. Das Ergenis ist:
> N= ( [mm]\bruch{a}{\bruch{wt}{pt}} )^\bruch{1}{1-a}[/mm] * Kt
Gib uns mal die komplette Aufgabenstellung. Ich sehe das
nicht ein, aber ich kann mich auch irren.
> Ich komme aber nicht von meiner Ableitung auf dieses
> Ergebnis.
>
> Könnte mir da jdm die Zwischenschritte erklären?
>
> Vielen Dank schonmal
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Also die Ableitung die stimmt schon so, der Zwischenschritt war angegeben.
Aufgabenstellung war nur den Gewinn dieser Funktion zu maximieren bei konstanten K. Das N sollte eben errechnet werden.
Ich komme leider nicht von dieser Ableitung auf das umgeformte Endergebnis, welches man benötigt, um später weiterzurechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 20.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also die Ableitung die stimmt schon so, der Zwischenschritt
> war angegeben.
> [mm] pt*(N^a*K^{1-a})-wt*Nt-rt*Kt
[/mm]
Wieso ist der Ausdruck
$wt*Nt$
nicht zusammengefasst? Ist das ein Schreibfehler?
> Ich komme leider nicht von dieser Ableitung auf das
> umgeformte Endergebnis, welches man benötigt, um später
> weiterzurechnen.
Dann rechen mal vor.
|
|
|
| |
|
Der Ausdruck ist nicht zusammengefasst, weil man die Funktion ja erstmal logisch aufstellen muss und so in der Form macht sie eben zum interpretieren am meisten sinn.
Die Ableitung war ja:
[mm] a*N^{a-1}* K^{1-a}*pt [/mm] -wt=0
[mm] a*N^{a-1} [/mm] * [mm] K^{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{wt}{pt}
[/mm]
Als nächstes hätte ich durch a geteilt (das ziel ist es ja N istoliert zu haben)
[mm] N^{a-1} [/mm] * [mm] K^{1-a} [/mm] = [mm] \bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}} [/mm]
Um die Potenz bei dem N wegzurkiegen, hätte ich jetzt den Ausdruck zusammengefasst
( [mm] \bruch{N}{K})^{a-1} [/mm] = [mm] \bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}} [/mm]
Um die Potenz wegzukriegen die Gleichung mit hoch a-1 potenzieren???
[mm] \bruch{N}{K} [/mm] = ( [mm] \bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}} [/mm] ) ^{1-a}
Und das ganze jetzt mal K
Leider sieht das Ergenis etwas anders aus, das hatte ich ja schon oben geschrieben
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 So 20.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Die Ableitung war ja:
>
> [mm]a*N^{a-1}* K^{1-a}*pt[/mm] -wt=0
Das ist keine Ableitung, sondern eine Gleichung! Außerdem
habe ich dir schon in meiner ersten Antwort gesagt, dass
deine "Ableitung" falsch ist und deine Antwort darauf war,
dass deine "Ableitung" richtig ist, da sie so in deiner
Lösung steht. Zu deiner Information: (Muster-)Lösungen er-
halten oft Fehler.
Es gilt:
[mm] f(N):=ptN^{a}\cdot{}K^{1-a}-wtNt-rtKt
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f'(N)=ptaN^{a-1}\cdot{}K^{1-a}-wt^2$,
[/mm]
wobei dein Fehler bei der Ableitung der vorletzten Summe
liegt, denn es folgt mit der Faktorregel folgendes:
[mm] \frac{d}{dN}(wtNt)=wt^2\frac{d}{dN}(N)=wt^2.
[/mm]
Sag uns also endlich ob die Funktion richtig angegeben ist!
> [mm]a*N^{a-1}[/mm] * [mm]K^{1-a}[/mm] = [mm]\bruch{wt}{pt}[/mm]
Für
[mm] $p,t\not=0$
[/mm]
folgerichtig.
> Als nächstes hätte ich durch a geteilt (das ziel ist es
> ja N istoliert zu haben)
>
> [mm]N^{a-1}[/mm] * [mm]K^{1-a}[/mm] = [mm]\bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}}[/mm]
Nein.
Es gilt:
[mm] a*N^{a-1}*K^{1-a}=\frac{wt}{pt} [/mm] für [mm] p,t\not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow N^{a-1}*K^{1-a}=\frac{wt}{apt} [/mm] für [mm] a,p,t\not=0.
[/mm]
> Um die Potenz bei dem N wegzurkiegen, hätte ich jetzt den
> Ausdruck zusammengefasst
>
> ( [mm]\bruch{N}{K})^{a-1}[/mm] = [mm]\bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}}[/mm]
Folgerichtig, wobei ich noch einen Schritt hinzufügen würde.
> Um die Potenz wegzukriegen die Gleichung mit hoch a-1
> potenzieren???
>
> [mm]\bruch{N}{K}[/mm] = ( [mm]\bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}}[/mm] ) ^{1-a}
Nein.
Tipp: Wurzelziehen (Welche?).
> Und das ganze jetzt mal K
Folgerichtig.
Ich rate dir zum letzten Mal die obige Funktion zu kontrol-
lieren. Wenn man von deiner angegebenen Ableitung die Null-
stellen berechnen will, dann erhält man in der Tat fast das
angegebene Ergebnis. Beim Ende ist nur beim $Kt$ das $t$ zu viel.
Das komische ist, dass zum Beispiel beim Ergebnis das $t$ nicht
gekürzt worden sind. Gib' die komplette Aufgabenstellung an,
dann finden wir sicher den Fehler. Du hast angegeben, dass
du danach das Maximum "ausrechnen" willst. Das ist auch sehr
komisch, denn das "Maximum" ist dann sofort gegeben mit $f(N)$.
|
|
|
| |
|
> > Die Ableitung war ja:
> >
> > [mm]a*N^{a-1}* K^{1-a}*pt[/mm] -wt=0
>
> Das ist keine Ableitung, sondern eine Gleichung! Außerdem
> habe ich dir schon in meiner ersten Antwort gesagt, dass
> deine "Ableitung" falsch ist und deine Antwort darauf
> war,
> dass deine "Ableitung" richtig ist, da sie so in deiner
> Lösung steht. Zu deiner Information: (Muster-)Lösungen
> er-
> halten oft Fehler.
>
> Es gilt:
>
> [mm]f(N):=ptN^{a}\cdot{}K^{1-a}-wtNt-rtKt[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f'(N)=ptaN^{a-1}\cdot{}K^{1-a}-wt^2[/mm],
>
Wie kommst du auf [mm] wt^2????
[/mm]
In der Formel gibts nur ein wt
> wobei dein Fehler bei der Ableitung der vorletzten Summe
> liegt, denn es folgt mit der Faktorregel folgendes:
>
> [mm]\frac{d}{dN}(wtNt)=wt^2\frac{d}{dN}(N)=wt^2.[/mm]
>
> Sag uns also endlich ob die Funktion richtig angegeben
> ist!
>
> > [mm]a*N^{a-1}[/mm] * [mm]K^{1-a}[/mm] = [mm]\bruch{wt}{pt}[/mm]
>
> Für
>
> [mm]p,t\not=0[/mm]
>
> folgerichtig.
>
> > Als nächstes hätte ich durch a geteilt (das ziel ist es
> > ja N istoliert zu haben)
> >
> > [mm]N^{a-1}[/mm] * [mm]K^{1-a}[/mm] = [mm]\bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}}[/mm]
>
> Nein.
>
> Es gilt:
>
> [mm]a*N^{a-1}*K^{1-a}=\frac{wt}{pt}[/mm] für [mm]p,t\not=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow N^{a-1}*K^{1-a}=\frac{wt}{apt}[/mm] für
> [mm]a,p,t\not=0.[/mm]
>
> > Um die Potenz bei dem N wegzurkiegen, hätte ich jetzt den
> > Ausdruck zusammengefasst
> >
> > ( [mm]\bruch{N}{K})^{a-1}[/mm] = [mm]\bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}}[/mm]
>
> Folgerichtig, wobei ich noch einen Schritt hinzufügen
> würde.
>
> > Um die Potenz wegzukriegen die Gleichung mit hoch a-1
> > potenzieren???
> >
> > [mm]\bruch{N}{K}[/mm] = ( [mm]\bruch{wt}{ \bruch{pt}{a}}[/mm] ) ^{1-a}
>
> Nein.
>
> Tipp: Wurzelziehen (Welche?).
>
> > Und das ganze jetzt mal K
>
> Folgerichtig.
>
> Ich rate dir zum letzten Mal die obige Funktion zu
> kontrollieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 So 20.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Es gilt:
> >
> > [mm]f(N):=ptN^{a}\cdot{}K^{1-a}-wtNt-rtKt[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow f'(N)=ptaN^{a-1}\cdot{}K^{1-a}-wt^2[/mm],
> >
>
> Wie kommst du auf [mm]wt^2????[/mm]
> In der Formel gibts nur ein wt
Du meinst nur ein $t$, aber damit liegst du auch falsch.
Hier nochmal in Farbe:
[mm] f(N):=ptN^{a}\cdot{}K^{1-a}-\red{wtNt}-rtKt.
[/mm]
Es gilt:
$wtNt=wt^2N$.
Das steht so in deiner erster Frage und bestätigt hast du
es mir auch bereits als ich dich nach dem Grund gefragt
habe, weshalb das nicht zusammengefasst worden ist!
|
|
|
| |
|
wt*Nt ist nicht [mm] wt^2, [/mm] da w und N für 2 verschiedene ANnahmen im MOdell stehen.
Aber das ist mir gerad nicht so wichtig.
Du hast weiter unten was von Wurzel ziehen gesprochen. Ich glaube damit meinst du die Gleichung [mm] ^\bruch{1}{1-a} [/mm] meinst, damit komm ich nämlich der musterlösung sehr nahe. Meine frage ist, wieso ich wurzel ziehen muss und nicht einfach ^1-a potenzieren kann; damit würde sich der Exponent doch auch zu ner 1 verwandeln oder?
Und noch ne Frage:
Wieso ist [mm] (\bruch{a}{\bruch{wt}{pt} })^\bruch{1}{1-a} [/mm]
=
[mm] (\bruch{1}{a} [/mm] * [mm] \bruch{wt}{pt} )^\bruch{1}{a-1} [/mm]
Danke schonmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 21.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> wt*Nt ist nicht [mm]wt^2,[/mm]
Du meinst:
[mm] $wt*Nt\$
[/mm]
ist nicht gleich
[mm] $wt^2N\$,
[/mm]
> da w und N für 2 verschiedene
> ANnahmen im MOdell stehen.
Okay, das nehme ich so hin. Das Gute ist nun, dass der
Lösungsweg fast der Selbe ist.
> Aber das ist mir gerad nicht so wichtig.
>
> Du hast weiter unten was von Wurzel ziehen gesprochen. Ich
> glaube damit meinst du die Gleichung [mm]^\bruch{1}{1-a}[/mm]
> meinst, damit komm ich nämlich der musterlösung sehr
> nahe. Meine frage ist, wieso ich wurzel ziehen muss und
> nicht einfach ^1-a potenzieren kann; damit würde sich der
> Exponent doch auch zu ner 1 verwandeln oder?
Nein.
Es gilt:
[mm] f'(N)=ptaN^{a-1}\cdot{}K^{1-a}-wt\overset{!}{=}0
[/mm]
[mm] \Rightarrow ptaN^{a-1}\cdot{}K^{1-a}=wt
[/mm]
[mm] \Rightarrow N^{a-1}\cdot{}K^{1-a}=\frac{wt}{pta}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \left(\frac{N}{K}\right)^{a-1}=\frac{wt}{pta}.
[/mm]
Erinnere dich mal an ein ganz einfaches Beispiel. Wir
rechnen doch wie folgt:
[mm] x^2\overset{!}{=}\frac{1}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}.
[/mm]
Was wurde hier genau gemacht?
> Und noch ne Frage:
>
> Wieso ist [mm](\bruch{a}{\bruch{wt}{pt} })^\bruch{1}{1-a}[/mm]
> =
> [mm](\bruch{1}{a}[/mm] * [mm]\bruch{wt}{pt} )^\bruch{1}{a-1}[/mm]
Das ist richtig. Ich rechne mal weiter:
[mm] \left(\frac{N}{K}\right)^{a-1}\overset{!}{=}\frac{wt}{pta}
[/mm]
[mm] \Rightarrow N=\left(\frac{wt}{pta}\right)^{\frac{1}{a-1}}*K.
[/mm]
Nun vereinfachen wir den Wurzelausdruck
[mm] \left(\frac{wt}{pta}\right)^{\frac{1}{a-1}}=\left(\frac{wt}{pta}\right)^{-\frac{1}{1-a}}=\frac{1}{\left(\frac{wt}{pta}\right)^{\frac{1}{1-a}}}=\frac{1}{\frac{(wt)^{\frac{1}{1-a}}}{(pta)^{\frac{1}{1-a}}}}=\frac{(pta)^{\frac{1}{1-a}}}{(wt)^{\frac{1}{1-a}}}=\left(\frac{pta}{wt}\right)^{\frac{1}{1-a}},
[/mm]
wobei man in der Regel viele dieser Schritt nicht aufschrei-
ben würde. Jedenfalls folgt somit
[mm] N=\left(\frac{pta}{wt}\right)^{\frac{1}{1-a}}*K.
[/mm]
Den Grund für das Nichtkürzen hast du allerdings auch hier
noch nicht geliefert. Am Ende muss noch irgendwie mit $t$
multipliziert werden und man erhält dein Ergebnis.
Übrigens folgt mit dem Kehrwert
[mm] \frac{a}{\frac{wt}{pt}}=a*\frac{pt}{wt}=\frac{apt}{wt},
[/mm]
aber ohne die Aufgabenstellung macht diese Umformung auch
nicht viel Sinn. Eigentlich musst du mir nur noch erklären
wie deine Lösung am Ende mit [mm] $Kt\$, [/mm] anstatt $K$ multipliziert.
|
|
|
| |
|
> > wt*Nt ist nicht [mm]wt^2,[/mm]
>
> Du meinst:
>
> [mm]wt*Nt\[/mm]
>
> ist nicht gleich
>
> [mm]wt^2N\[/mm],
>
> > da w und N für 2 verschiedene
> > ANnahmen im MOdell stehen.
>
> Okay, das nehme ich so hin. Das Gute ist nun, dass der
> Lösungsweg fast der Selbe ist.
>
> > Aber das ist mir gerad nicht so wichtig.
> >
> > Du hast weiter unten was von Wurzel ziehen gesprochen. Ich
> > glaube damit meinst du die Gleichung [mm]^\bruch{1}{1-a}[/mm]
> > meinst, damit komm ich nämlich der musterlösung sehr
> > nahe. Meine frage ist, wieso ich wurzel ziehen muss und
> > nicht einfach ^1-a potenzieren kann; damit würde sich der
> > Exponent doch auch zu ner 1 verwandeln oder?
>
> Nein.
>
> Es gilt:
>
> [mm]f'(N)=ptaN^{a-1}\cdot{}K^{1-a}-wt\overset{!}{=}0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow ptaN^{a-1}\cdot{}K^{1-a}=wt[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow N^{a-1}\cdot{}K^{1-a}=\frac{wt}{pta}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left(\frac{N}{K}\right)^{a-1}=\frac{wt}{pta}.[/mm]
>
> Erinnere dich mal an ein ganz einfaches Beispiel. Wir
> rechnen doch wie folgt:
>
> [mm]x^2\overset{!}{=}\frac{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}.[/mm]
>
> Was wurde hier genau gemacht?
>
> > Und noch ne Frage:
> >
> > Wieso ist [mm](\bruch{a}{\bruch{wt}{pt} })^\bruch{1}{1-a}[/mm]
> > =
> > [mm](\bruch{1}{a}[/mm] * [mm]\bruch{wt}{pt} )^\bruch{1}{a-1}[/mm]
>
> Das ist richtig. Ich rechne mal weiter:
>
> [mm]\left(\frac{N}{K}\right)^{a-1}\overset{!}{=}\frac{wt}{pta}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow N=\left(\frac{wt}{pta}\right)^{\frac{1}{a-1}}*K.[/mm]
Dann ziehst du aus dem Ausdruck die a-1 te Wurzel, also ^ [mm] \bruch{1}{a-1} [/mm] ? Gleicher Ausdruck wie der Exponent, nur die Wurzel? Ist das allgemein so?
>
> Nun vereinfachen wir den Wurzelausdruck
>
> [mm]\left(\frac{wt}{pta}\right)^{\frac{1}{a-1}}=\left(\frac{wt}{pta}\right)^{-\frac{1}{1-a}}=\frac{1}{\left(\frac{wt}{pta}\right)^{\frac{1}{1-a}}}=\frac{1}{\frac{(wt)^{\frac{1}{1-a}}}{(pta)^{\frac{1}{1-a}}}}=\frac{(pta)^{\frac{1}{1-a}}}{(wt)^{\frac{1}{1-a}}}=\left(\frac{pta}{wt}\right)^{\frac{1}{1-a}},[/mm]
>
> wobei man in der Regel viele dieser Schritt nicht
> aufschrei-
> ben würde. Jedenfalls folgt somit
>
> [mm]N=\left(\frac{pta}{wt}\right)^{\frac{1}{1-a}}*K.[/mm]
>
> Den Grund für das Nichtkürzen hast du allerdings auch
> hier
> noch nicht geliefert. Am Ende muss noch irgendwie mit [mm]t[/mm]
> multipliziert werden und man erhält dein Ergebnis.
>
> Übrigens folgt mit dem Kehrwert
>
> [mm]\frac{a}{\frac{wt}{pt}}=a*\frac{pt}{wt}=\frac{apt}{wt},[/mm]
>
> aber ohne die Aufgabenstellung macht diese Umformung auch
> nicht viel Sinn. Eigentlich musst du mir nur noch
> erklären
> wie deine Lösung am Ende mit [mm]Kt\[/mm], anstatt [mm]K[/mm]
> multipliziert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mo 21.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Mit Sax' Antwort wurde mir nun einiges klar. Diese Formel
der Volkswirtschaftslehre ist mir übrigens noch nie über
den Weg gelaufen. Soviel Makro- und Mikroökonomische hatte
ich aber auch nicht.
> > Das ist richtig. Ich rechne mal weiter:
> >
> > [mm]\left(\frac{N}{K}\right)^{a-1}\overset{!}{=}\frac{wt}{pta}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow N=\left(\frac{wt}{pta}\right)^{\frac{1}{a-1}}*K.[/mm]
>
>
> Dann ziehst du aus dem Ausdruck die a-1 te Wurzel, also ^
> [mm]\bruch{1}{a-1}[/mm] ? Gleicher Ausdruck wie der Exponent, nur
> die Wurzel? Ist das allgemein so?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Im Grunde potenzierst du mit
[mm] \frac{1}{a-1},
[/mm]
aber man kann auch sagen, dass man die $a-1$-te Wurzel zieht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du brauchst nicht zu verzweifeln, dein Problem lässt sich sehr einfach lösen.
Alle bisherigen Antworten haben nicht berücksichtigt, dass man die Notation der Wirtschaftsmathematiker flexibel lesen muss.
rt, wt usw. bezeichnen keine Produkte, sondern Variablen, deren Namen aus zwei Buchstaben besteht ! Um die Lesbarkeit zu verbessern und um Verwechslungen austuschließen, werde ich sie im Folgenden einfach nur noch mit N, K, w, r bezeichnen.
Wir haben dann als Ausgangsgleichung
$ [mm] f(N)=p*N^{a}*K^{1-a}-w*N-r*K [/mm] $ mit der Ableitung $ [mm] f'(N)=p*a*N^{a-1}*K^{1-a}-w [/mm] $ .
Zur Bestimmung des Maximums suchen wir N so, dass f'(N) = 0 wird:
$ [mm] p*a*N^{a-1}*K^{1-a}=w [/mm] $
Division durch p und durch a und Berücksichtigung von [mm] K^{1-a}=(\bruch{1}{K})^{a-1} [/mm] ergibt
[mm] (\bruch{N}{K})^{a-1}=\bruch{w}{a*p}
[/mm]
An dieser Stelle hast du einen Fehler gemacht.
Die Gleichung [mm] x^z=y [/mm] wird nach x aufgelöst, indem man mit [mm] \bruch{1}{z} [/mm] potenzirt (die z-te Wurzel zieht), nicht dadurch, dass man mit -z potenziert, denn das würde [mm] x^{-z^2}=y^{-z} [/mm] ergeben. So aber erhälst du
[mm] \bruch{N}{K}=(\bruch{w}{a*p})^{\bruch{1}{a-1}}=(\bruch{a*p}{w})^{\bruch{1}{1-a}}
[/mm]
Multiplikation mit K liefert das angegebene Ergebnis unter Berücksichtigung von [mm] \bruch{a}{\bruch{w}{p}}=\bruch{a*p}{w}
[/mm]
Gruß Sax.
|
|
|
|
