C^nxn Banachraum? Abschätzung? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Manabago |
Hi! Ich möchte zeigen, dass der Raum [mm] \IC^{nxn} [/mm] mit der Spektralnorm [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] := [mm] \sup_{|x|=1} [/mm] |Ax| zu einem Banachraum wird. Da hab ich mir überlegt, dass eine Folge von Matrizen genau dann eine Cauchyfolge ist, wenn die Einträge es sind, woraus die Behauptung folgt. Ist das so korrekt?
Die eigentliche Frage ist aber die: Wie zeigt man, dass für die Einträge einer komplexen nxn Matrix gilt: [mm] |a_{jk}| \le \bruch{\parallel A \parallel}{\wurzel(n)}? [/mm] Ich komm immer nur auf Abschätzungen in die andere Richtung... Wär super, wenn mir da wer auf die Sprünge helfen könnte. Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
wenn dir eine etwas schwächere abschätzung genügt kannst du es etwa so machen: sei [mm] $e_i$ [/mm] der $i$-te vektor der standardbasis, dann ist [mm] $|a_{jk}| [/mm] = [mm] \sqrt{|a_{jk}|^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_{ik}|^2} [/mm] = [mm] |Ae_k| \leq \sup_{|x| = 1} [/mm] |Ax| = [mm] \|A\|$. [/mm] so ähnlich erhält man vermutlich auch die schärfere abschätzung, aber diese genügt ja auch für die cauchy-eigenschaft. ansonsten sind deine überlegungen, so wie ich das sehe, alle korrekt.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Manabago |
Danke für deine Antwort. Diese Ungleichung konnte ich auch schon zeigen. Interessant wäre aber wirklich wie man die schärfere Abschätzung zeigt. Ich glaube, dass dieser Schritt [mm] \sqrt{|a_{jk}|^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_{ik}|^2} [/mm] zu "grob" ist, mir fällt aber leider nicht ein, wie man das anders machen könnte. Für weitere Ideen bin ich sehr dankbar...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Sei [mm] E:=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] die Einheitsmatrix. Dann ist [mm] \parallel [/mm] E [mm] \parallel [/mm] = 1, weil E die Identität darstellt, aber [mm] |e_{1,1}|=1>\bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 13.05.2008 | | Autor: | Manabago |
Ein saftiges Gegenbeispiel, dann ist da wohl ein Fehler in der Angabe. Danke!
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