Clifford Torus und 3D-Sphäre < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 15.05.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo!
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Gegeben sei die Sphäre [mm] $S^1 [/mm] = [mm] \left\{ x \in \mathbb R^2 \mid \Vert x \Vert = 1 \right\}$ [/mm] und die Abbildung [mm] $\Phi [/mm] : [mm] S^1 \times S^1 \to \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 [/mm] = [mm] \mathbb R^4$ [/mm] mit $(x,y) [mm] \mapsto \frac{1}{\sqrt 2}(x,y)$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\Phi$ [/mm] eine injektive differenzierbare Abbildung (sogar Immersion) des zweidimensionalen Torus [mm] $S^1 \times S^1$ [/mm] in die dreidimensionale Einheitssphäre [mm] $S^3 \subset \mathbb R^4$. [/mm] |
Gewählt habe ich die Parametrisierung von [mm] $S^1$ [/mm] mit [mm] $S^1 [/mm] = [mm] \left\{ (\cos \varphi, \sin \varphi) \mid 0 \leqslant \varphi < 2\pi \right\}$. [/mm] Dann ergibt sich [mm] $\Phi$ [/mm] mit
[mm] $\Phi(\varphi, \vartheta) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} \cos \varphi, \sin \varphi, \cos \vartheta, \sin \vartheta \end{pmatrix}.$
[/mm]
Die Abbildung ist offensichtlich glatt und für die Jacobi-Matrix gilt [mm] $\mathrm J_\Phi(\varphi, \vartheta) \neq 0\, \forall (\varphi, \vartheta) \in S^1 \times S^1$ [/mm] also ist sie injektiv.
Mein Problem ist zu zeigen, dass die Abbildung in die [mm] $S^3$ [/mm] abbildet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 So 15.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> Die Abbildung ist offensichtlich glatt und für die
> Jacobi-Matrix gilt [mm]\mathrm J_\Phi(\varphi, \vartheta) \neq 0\, \forall (\varphi, \vartheta) \in S^1 \times S^1[/mm]
> also ist sie injektiv.
Nö, deswegen muss sie nicht injektiv sein. Dass muss man gesondert zeigen.
> Mein Problem ist zu zeigen, dass die Abbildung in die [mm]S^3[/mm]
> abbildet.
Norm des Bildes ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 17.05.2011 | | Autor: | Bappi |
Vielen Dank.
Anderer Gedanke war $T_pM$ ist ein Vektorraum, also hat die Jacobi-Matrix maximalen Rang [mm] $\Longleftrightarrow$ [/mm] die lineare Abbildung [mm] $\mathrm J_\Phi$ [/mm] injektiv.
Das ist ja eigentlich offensichtlich..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mi 18.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> Anderer Gedanke war [mm]T_pM[/mm] ist ein Vektorraum, also hat die
> Jacobi-Matrix maximalen Rang [mm]\Longleftrightarrow[/mm] die
> lineare Abbildung [mm]\mathrm J_\Phi[/mm] injektiv.
Die Injektivität der ganzen Abbildung lässt sich nicht aus der Injektivität der Jacaobi-Matrix an jedem Punkt folgern (vgl. hierzu Riemannsche Überlagerungen).
SEcki
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> Hallo!
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> Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
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> Gegeben sei die Sphäre [mm]S^1 = \left\{ x \in \mathbb R^2 \mid \Vert x \Vert = 1 \right\}[/mm]
> und die Abbildung [mm]\Phi : S^1 \times S^1 \to \mathbb R^2 \times \mathbb R^2 = \mathbb R^4[/mm]
> mit [mm](x,y) \mapsto \frac{1}{\sqrt 2}(x,y)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\Phi[/mm] eine injektive differenzierbare
> Abbildung (sogar Immersion) des zweidimensionalen Torus [mm]S^1 \times S^1[/mm]
> in die dreidimensionale Einheitssphäre [mm]S^3 \subset \mathbb R^4[/mm].
>
> Gewählt habe ich die Parametrisierung von [mm]S^1[/mm] mit [mm]S^1 = \left\{ (\cos \varphi, \sin \varphi) \mid 0 \leqslant \varphi < 2\pi \right\}[/mm].
> Dann ergibt sich [mm]\Phi[/mm] mit
>
> [mm]\Phi(\varphi, \vartheta) = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} \cos \varphi, \sin \varphi, \cos \vartheta, \sin \vartheta \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Die Abbildung ist offensichtlich glatt und für die
> Jacobi-Matrix gilt [mm]\mathrm J_\Phi(\varphi, \vartheta) \neq 0\, \forall (\varphi, \vartheta) \in S^1 \times S^1[/mm]
> also ist sie injektiv.
>
>
> Mein Problem ist zu zeigen, dass die Abbildung in die [mm]S^3[/mm]
> abbildet.
Die Hyperfläche [mm] S^3\subset\IR^4 [/mm] besteht aus allen [mm] v\in\IR^4 [/mm] mit
[mm] $\Vert [/mm] v [mm] \Vert=1$ [/mm] . Zeige, dass [mm] v=\Phi(x,y) [/mm] diese Eigenschaft immer erfüllt,
wenn [mm] $(x,y)\in S^1\times{S^1}$ [/mm] .
Für die Injektivität zeigst du, dass man aus einem gegebenen
4-Vektor v mit $\ [mm] v=\Phi(x,y)$ [/mm] die Winkel [mm] \varphi, \vartheta [/mm] modulo [mm] 2\,\pi
[/mm]
und damit x und y stets eindeutig rekonstruieren kann.
Zum Ausprobieren hier ein Beispiel: $\ v\ =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}*\pmat{0.6\\-0.8\\-0.96\\0.28}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Bappi |
Vielen Dank, hat gut geklappt!
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